2017-全国卷II文-15 填-外接球

本题导读

考查长方体外接球半径的计算公式及球的表面积公式，属于立体几何基础题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 长方体的长、宽、高分别为 $3,2,1$，其顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 长方体的体对角线长即为其外接球的直径 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。
2. 代入长方体的长宽高计算球的半径 $R$，再求球的表面积。

✅【答案】

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$14\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设长方体的长、宽、高分别为 $a=3$，$b=2$，$c=1$。 长方体的体对角线长为： $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$. 因为长方体的所有顶点均在球 $O$ 的球面上，所以长方体的体对角线即为外接球的直径： $2R=\sqrt{14}⟹R=\frac{\sqrt{14}}{2}$. 球 $O$ 的表面积公式为： $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)}^2=4\pi \times \frac{14}{4}=14\pi$. 故答案为：$14\pi$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体外接球直径公式、球表面积公式。
2. 核心方法：体对角线等于外接球直径。
3. 避坑指南：计算平方和时仔细核对长宽高数据，$\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何球与多面体切接常规题。
2. 结论推广: 任意长方体外接球的半径 $R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-05 单-外接球
• 2019-天津卷文-12 填-外接球
• 2019-全国卷I理-12 单-外接球