2019-全国卷I理-22 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与直角坐标方程的互化。核心在于代入消元法 / 平方关系消元法、椭圆参数坐标法 $(a\cos \varphi ,b\sin \varphi )$的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y=\frac{4t}{1+t^2}\end{array}$ ($t$ 为参数)．以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2\rho \cos \theta +\sqrt{3}\rho \sin \theta +11=0$．

(1)求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．

🔍【思路分析】

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1. 第一问 (互化)：

   • 曲线 $C$：观察参数方程结构，分母相同。可以尝试计算 $x^2$ 与 $y^2$ 的某种组合，或者通过 $t^2=\frac{1-x}{1+x}$ 代入 $y$ 的方程消去 $t$。注意：由于 $1+t^2>0$ 且 $1-t^2\le 1+t^2$，需考虑 $x$ 的范围。

   • 直线 $l$：直接利用极坐标转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 替换即可。

2. 第二问 (最值)：

   • 曲线 $C$ 是一个椭圆（或其一部分）。为了方便计算距离，将 $C$ 重新参数化为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \varphi \\ y=2\sin \varphi \end{array}$。

   • 利用点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，将距离 $d$ 表示为关于角 $\varphi$ 的三角函数。

   • 使用辅助角公式化简并求出最小值。

✅【答案】

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(1)$C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，$l$ 的方程为 $2x+\sqrt{3}y+11=0$。

(2)最小值为 $\sqrt{7}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程

对于曲线 $C$：

方法一（平方关系）：

$x^2=\frac{(1-t^2{)}^2}{(1+t^2{)}^2}$，$y^2=\frac{16t^2}{(1+t^2{)}^2}$

观察发现 $\frac{y^2}{4}=\frac{4t^2}{(1+t^2{)}^2}$

则 $x^2+\frac{y^2}{4}=\frac{(1-t^2{)}^2+4t^2}{(1+t^2{)}^2}=\frac{1-2t^2+t^4+4t^2}{(1+t^2{)}^2}=\frac{(1+t^2{)}^2}{(1+t^2{)}^2}=1$

又由 $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}-1$，因为 $1+t^2\ge 1$，所以 $0<\frac{2}{1+t^2}\le 2$

得出 $-1<x\le 1$。

故 $C$ 的直角坐标方程为：$x^2+\frac{y^2}{4}=1$ (其范围为 $x\in (-1,1]$)。

对于直线 $l$：

将 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 代入 $2\rho \cos \theta +\sqrt{3}\rho \sin \theta +11=0$

得到直线 $l$ 的直角坐标方程为：$2x+\sqrt{3}y+11=0$。

(2)求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值

由于曲线 $C$ 在椭圆 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$ 上，设 $C$ 上的动点为 $P(\cos \varphi ,2\sin \varphi )$。

点 $P$ 到直线 $l:2x+\sqrt{3}y+11=0$ 的距离 $d$ 为：

$d=\frac{|2\cos \varphi +\sqrt{3}(2\sin \varphi )+11|}{\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}}$

$d=\frac{|2\cos \varphi +2\sqrt{3}\sin \varphi +11|}{\sqrt{7}}$

利用辅助角公式 $a\sin \varphi +b\cos \varphi =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\varphi +\alpha )$：

$2\cos \varphi +2\sqrt{3}\sin \varphi =4(\frac{1}{2}\cos \varphi +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \varphi )=4\sin (\varphi +\frac{\pi }{6})$

代入距离公式：

$d=\frac{|4\sin (\varphi +\frac{\pi }{6})+11|}{\sqrt{7}}$

当 $\sin (\varphi +\frac{\pi }{6})=-1$ 时，分子取得最小值 $|4(-1)+11|=7$。

此时 $d_{min}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$。

（注意：此时 $\cos \varphi$ 的取值需在 $x$ 的范围 $(-1,1]$ 内校验，当 $\sin (\dots )=-1$ 时，距离确实可以取得）。

故 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值为 $\sqrt{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数消元的严谨性：很多同学容易漏掉 $x\in (-1,1]$ 这个范围。虽然在求距离最小值时由于椭圆的对称性可能不影响最终答案，但在大题评分中这是重要的采分点。

• 万能公式的联系：本题中曲线 $C$ 的参数方程形式与三角函数中的“万能公式”极其相似（令 $t=\tan \frac{\varphi }{2}$），这也预示了该曲线与圆/椭圆的深层联系。

• 距离最值模型：处理“二次曲线上的点到直线距离”时，参数坐标法永远比设点 $(x,y)$ 联立方程简便得多。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷理-21
• 2009-湖南卷理-20
• 2010-天津卷理-05