2019-全国卷II文-12 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及圆的方程与性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）设 $F$ 为双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点，$O$ 为坐标原点，以 $OF$ 为直径的圆与圆 $x^2+y^2=a^2$ 交于 $P,Q$ 两点。若 $|PQ|=|OF|$，则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 右焦点坐标为 $F(c,0)$，以 $OF$ 为直径的圆方程为 ${\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{c}{2}\right)}^2$，即 $x^2-cx+y^2=0$。
2. 将两圆方程相减得到公共弦 $PQ$ 所在直线方程，结合弦长公式或几何性质求出 $a,c$ 的关系，进而求出离心率 $e$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

右焦点 $F(c,0)$，以 $OF$ 为直径的圆方程为 $x^2-cx+y^2=0$。 已知圆为 $x^2+y^2=a^2$，两圆相减得公共弦 $PQ$ 所在的直线方程为 $cx=a^2$，即 $x=\frac{a^2}{c}$。 因为 $|OF|=c$，且 $|PQ|=c$， 在圆 $x^2+y^2=a^2$ 中，圆心到弦 $PQ$ 的距离为 $d=\left|\frac{a^2}{c}\right|=\frac{a^2}{c}$。 由半弦长、半径和弦心距构成的直角三角形满足： ${\left(\frac{|PQ|}{2}\right)}^2+d^2=a^2⟹{\left(\frac{c}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a^2}{c}\right)}^2=a^2$。 化简得 $\frac{c^2}{4}+\frac{a^4}{c^2}=a^2$。 因为 $c=ae$，代入上式得： $\frac{a^2{e}^2}{4}+\frac{a^4}{a^2{e}^2}=a^2⟹\frac{e^2}{4}+\frac{1}{e^2}=1$。 两边同乘以 $4e^2$ 得 $e^4-4e^2+4=0$，即 $(e^2-2{)}^2=0$。 解得 $e^2=2$，因为 $e>1$，所以 $e=\sqrt{2}$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率、圆的相交弦问题。
2. 核心方法：利用两圆方程相减消去二次项得到公共弦方程。
3. 避坑指南：熟练运用点到直线的距离公式与直角三角形勾股定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线压轴选择题经典题型。
2. 结论推广: 熟练掌握圆与圆相交弦方程的通用求法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-06 单-双曲线性质
• 2013-大纲卷理-21 解-双曲线性质
• 2013-天津卷理-05 单-双曲线性质