2019-全国卷II文-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+3y-6\ge 0,\\ x+y-3\le 0,\\ y-2\le 0,\end{array}$ 则 $z=3x-y$ 的最大值是$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）。
2. 确定可行域的各个顶点坐标。
3. 将顶点坐标代入目标函数 $z=3x-y$ 中比较大小，找出最大值。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

作出约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+3y-6\ge 0\\ x+y-3\le 0\\ y-2\le 0\end{array}$ 对应的封闭三角形区域。 联立边界直线求出三个顶点：

• 直线 $2x+3y=6$ 与 $y=2$ 的交点为 $(0,2)$；
• 直线 $x+y=3$ 与 $y=2$ 的交点为 $(1,2)$；
• 直线 $2x+3y=6$ 与 $x+y=3$ 的交点为 $(3,0)$。 将三个顶点代入目标函数 $z=3x-y$：
• 在点 $(0,2)$ 处：$z=3(0)-2=-2$；
• 在点 $(1,2)$ 处：$z=3(1)-2=1$；
• 在点 $(3,0)$ 处：$z=3(3)-0=9$。 故目标函数的最大值为 9。 故答案为：9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点法（在可行域的顶点处取得最值）。
3. 避坑指南：作图时要准确画出边界直线，确保交点计算无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规题。
2. 结论推广: 熟练掌握平移直线法与顶点代入法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-02 单-线性规划
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2013-广东卷理-13 填-简单线性规划的应用