2019-全国卷II文-18 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于方程组法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_1=2$，$a_3=2a_2+16$。

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n={\log }_2{a}_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问利用等比数列通项公式将条件转化为关于公比 $q$ 的方程，求解 $q$ 即可得到通项。

2. 第(2)问利用对数性质将 $b_n$ 化简，证明其为等差数列，再求前 $n$ 项和。

✅【答案】

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(1)$a_n=2^{2n-1}$。

(2)$S_n=n^2$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$（由各项均为正数知 $q>0$）。

因为 $a_1=2$，$a_3=a_1{q}^2=2q^2$，$a_2=a_{1}q=2q$，

由 $a_3=2a_2+16$ 得：

$2q^2=2(2q)+16⟹2q^2-4q-16=0⟹q^2-2q-8=0$。

解得 $q=4$ 或 $q=-2$（舍去）。

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=a_1{q}^{n-1}=2\times 4^{n-1}=2^{2n-1}$。

(2) 因为 $b_n={\log }_2{a}_n={\log }_2(2^{2n-1})=2n-1$，

可知数列 $\{b_n\}$ 是以 1 为首项、2 为公差的等差数列。

其前 $n$ 项和 $S_n$ 为：

$S_n=\frac{n[b_1+b_n]}{2}=\frac{n[1+(2n-1)]}{2}=\frac{n(2n)}{2}=n^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项、对数运算法则、等差数列求和。

2. 核心方法：基本量法与性质转化法。

3. 避坑指南：求公比时注意根据“各项为正数”舍去负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题基础题型。

2. 结论推广: 熟练掌握“若 $a_n$ 为等比数列，则 ${\log }_c{a}_n$ 为等差数列”的重要结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II理-18 解-等差数列与等比数列的通项公式

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比