2019-全国卷II理-08 单-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点坐标，以及椭圆的标准方程与焦点坐标。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）若抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 的焦点是椭圆 $\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

确定抛物线焦点： 对于抛物线 $y^2=2px$，其焦点坐标为 $F_p(\frac{p}{2},0)$。 确定椭圆焦点： 对于椭圆 $\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$，其长半轴平方 $a^2=3p$，短半轴平方 $b^2=p$。利用关系式 $c^2=a^2-b^2$ 计算出椭圆焦点坐标 $F_e(c,0)$。 建立等量关系： 根据“焦点重合”这一条件，令 $\frac{p}{2}=c$，通过两边平方构造关于 $p$ 的方程。 解方程求 $p$： 注意 $p>0$ 的限制条件，得出最终结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】

计算抛物线焦点： 已知抛物线方程为 $y^2=2px$ ($p>0$)， 其焦点坐标为 $F_1(\frac{p}{2},0)$。 计算椭圆焦点： 已知椭圆方程为 $\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$， 因为 $3p>p>0$，所以椭圆中心在原点，焦点在 $x$ 轴上。 其中 $a^2=3p,b^2=p$。 则半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3p-p}=\sqrt{2p}$。 其焦点坐标为 $F_2(\sqrt{2p},0)$ 和 $(-\sqrt{2p},0)$。 建立方程求解： 由题意，$F_1$ 与 $F_2$ 重合（均为正半轴焦点）： $\frac{p}{2}=\sqrt{2p}$ 两边平方得：$\frac{p^2}{4}=2p$ 由于 $p>0$，等边两边同除以 $p$： $\frac{p}{4}=2⟹p=8$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

圆锥曲线焦点位置的判定： 椭圆 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$，若 $m>n$，焦点在 $x$ 轴；若 $n>m$，焦点在 $y$ 轴。本题中 $3p>p$ 确保了两者焦点均在 $x$ 轴上，具有可比性。 参数 $p$ 的含义： 在抛物线 $y^2=2px$ 中，$p$ 是准线到焦点的距离，焦点坐标是 $(\frac{p}{2},0)$，很多学生容易误记为 $(p,0)$。 验证排除法的应用：

• 若 $p=2$，抛物线焦点为 $(1,0)$，椭圆 $c^2=6-2=4⟹c=2$，不符。
• 若 $p=4$，抛物线焦点为 $(2,0)$，椭圆 $c^2=12-4=8⟹c=2\sqrt{2}$，不符。 通过代入选项，可以快速锁定 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理“共焦”问题的常见结论：

1. 共焦椭圆与双曲线：$\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ 与 $\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1$ 若共焦点，则 $a_1^2-b_1^2=a_2^2+b_2^2$。
2. 共轴线：当不同曲线共享焦点时，它们往往在几何光学或物理轨迹（如行星运行）中具有特殊的包络性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性