本题导读
本题考查相互独立事件的乘法公式。核心在于分类讨论法、概率模型化的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2019年全国卷II(理)）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立。在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 个球该局比赛结束。
(1)求 ；
(2)求事件“ 且甲获胜”的概率。
🔍【思路分析】
破题导航
- 理解规则与概率设定：
10:10 平后，每球交换发球权。
第 1 球：甲发球，甲得分概率 （则乙得分概率 ）。
第 2 球：乙发球，甲得分概率 （则乙得分概率 ）。
第 3 球：甲发球（同第 1 球）… 以此类推，奇数球甲发，偶数球乙发。
获胜条件：净胜 2 分。
- 第一问（ 的含义）：
打 2 个球就结束，意味着某一方连赢两球。
情况一：甲连赢两球（第 1 球甲赢 且 第 2 球甲赢）。
情况二：乙连赢两球（第 1 球乙赢 且 第 2 球乙赢）。
- 第二问（ 且甲获胜的含义）：
- 打 4 个球才结束，说明前 2 个球双方战成 1:1 平（否则 时已结束）。
- 甲获胜，说明第 3、4 个球甲连赢。
- 路径分析：(甲赢，乙赢，甲赢，甲赢) 或 (乙赢，甲赢，甲赢，甲赢)。
✅【答案】
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(1)。
(2)。
✍【详细解析】
Abstract
【解析过程】
(1)求 ： 表示比赛在打了 2 个球后结束，即某一方连胜两球。 设 为“甲连胜两球”， 为“乙连胜两球”。
- 对于 ：第 1 球甲发球甲赢，第 2 球乙发球甲赢。 。
- 对于 ：第 1 球甲发球乙赢，第 2 球乙发球乙赢。 。 由于 为互斥事件，则： 。
(2)求“ 且甲获胜”的概率： 且甲获胜，意味着前两个球双方战平（1:1），且后两个球（第 3、4 球）甲连胜。 前两个球战平有两种情况：
- 情况 ①：第 1 球甲赢，第 2 球乙赢。 概率 。
- 情况 ②：第 1 球乙赢，第 2 球甲赢。 概率 。 前两球战平的总概率为 。
后两个球甲连胜：
- 第 3 球甲发球，甲赢概率为 0.5。
- 第 4 球乙发球，甲赢概率为 0.4。 后两球甲连胜的概率为 。
根据相互独立事件的概率乘法公式： 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
发球权的识别： 本题最容易出错的地方是忽视“每球交换发球权”。必须明确第 1、3、5…球是甲发球，第 2、4…球是乙发球。
“且”与“或”的逻辑：
- 路径内部（如第 1 球和第 2 球）是“且”的关系，用乘法。
- 路径之间（如甲赢乙赢 和 乙赢甲赢）是“或”的关系，用加法。 实际背景： 这种概率计算模型常用于体育竞技分析。如果甲在自己发球时优势大，而在对方发球时劣势大，那么比赛拖得越长，对双方的心理和体能要求就越高。
📖【试题探源与推广】
Tip
在 Obsidian 笔记中，可以尝试计算 的分布列：
- 这是一个几何分布的变形，可以进一步探讨比赛平均会持续多少个球。
🔗【关联脉络】
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