2019-全国卷II理-23 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于分类讨论、数形结合思路的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）已知 $f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a)$。

(1)当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)<0$ 的解集；

(2)若 $x\in (-\infty ,1)$ 时，$f(x)<0$，求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 代入 $a=1$，通过零点分段法（$x=1$ 和 $x=2$）去掉绝对值符号。

• 在每个区间内求解简单的不等式，最后取并集。

2. 第二问：

• 转化思想：条件等价于当 $x<1$ 时，$f(x)<0$ 恒成立。
• 因式分解：提取公因式 $(x-a)$ 或进行分类讨论。
• 分情况讨论：讨论 $a$ 与 $1$ 的大小关系。若 $a\ge 1$，在 $x<1$ 时，$x-a$ 为负，观察整体符号；若 $a<1$，需检查是否存在不满足条件的区间。

✅【答案】

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(1)解集为 $(-\infty ,1)$。

(2)$a$ 的取值范围为 $[1,+\infty )$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】 (1)当 $a=1$ 时，$f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1)$。

• 当 $x<1$ 时：$f(x)=(1-x)x+(2-x)(x-1)=(x-1)(-x+2-x)=(x-1)(2-2x)=-2(x-1{)}^2$。 $\because x<1$ 时 $(x-1{)}^2>0$，$\therefore -2(x-1{)}^2<0$ 恒成立。解集为 $(-\infty ,1)$。
• 当 $1\le x<2$ 时：$f(x)=(x-1)x+(2-x)(x-1)=(x-1)(x+2-x)=2(x-1)$。 由 $2(x-1)<0$ 得 $x<1$，与 $1\le x<2$ 矛盾，无解。
• 当 $x\ge 2$ 时：$f(x)=(x-1)x+(x-2)(x-1)=(x-1)(x+x-2)=2(x-1{)}^2$。 $\because x\ge 2$ 时 $2(x-1{)}^2>0$，$\therefore f(x)<0$ 无解。 综上，解集为 $(-\infty ,1)$。

(2)$f(x)=(x-a)[\text{sgn}(x-a)x+|x-2|]$。 当 $x<1$ 时，恒有 $x<2$，则 $|x-2|=2-x$。 $f(x)=|x-a|x+(2-x)(x-a)$。

• 若 $a\ge 1$： 当 $x<1$ 时，必有 $x<a$，则 $|x-a|=a-x$。 $f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=(x-a)(-x+2-x)=2(x-a)(1-x)$。 当 $x<1$ 时，$x-a<0$ 且 $1-x>0$，故 $f(x)<0$ 恒成立。满足题意。
• 若 $a<1$： 当 $a<x<1$ 时，$|x-a|=x-a$。 $f(x)=(x-a)x+(2-x)(x-a)=(x-a)(x+2-x)=2(x-a)$。 因为 $x>a$，所以 $f(x)=2(x-a)>0$，不符合 $f(x)<0$。 综上所述，$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

绝对值的化简： 零点分段法是处理绝对值的万能钥匙，但在处理含有参数的恒成立问题时，优先考虑利用单调性或因式分解。

逻辑严密性： 在第(2)问中，很多同学容易漏掉 $a<1$ 时的局部不成立情况，通过举反例（如 $x$ 略大于 $a$）可以有效检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 全国卷I文-23 解-绝对值不等式
• 全国卷I理-23 解-绝对值不等式