2014-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式和二次不等式的综合求解，以及利用二次函数的性质进行不等式证明。第一问通过分段讨论去除绝对值符号求解集；第二问通过代数变形简化目标式，并利用配方法证明其上界。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） （选修 4-5：不等式选讲）设函数 $f(x)=2|x-1|+x-1$，$g(x)=16x^2-8x+1$.记 $f(x)\le 1$ 的解集为 $M$，$g(x)\le 4$ 的解集为 $N$.

(1) 求 $M$；

(2) 当 $x\in M\cap N$ 时，证明：$x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2\le \frac{1}{4}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一阶段：求解集 $M$
   • $f(x)\le 1$ 即 $2|x-1|+x-1\le 1$。
   • 分段讨论：根据绝对值零点 $x=1$ 将数轴分为 $x\ge 1$ 和 $x<1$。
   • 在各分段内去掉绝对值符号，解线性不等式，并与分段范围取交集，最后取并集。
2. 第二阶段：求解集 $N$ 及交集
   • $g(x)\le 4⟹(4x-1{)}^2\le 4$。
   • 利用二次不等式解法求出 $N$ 的范围。
   • 求 $M\cap N$。
3. 第三阶段：不等式证明
   • 观察在 $M\cap N$ 范围内 $f(x)$ 的具体形式。
   • 对目标式进行因式分解：$x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2=xf(x)[x+f(x)]$。
   • 代入 $f(x)$ 的解析式化简为关于 $x$ 的二次函数。
   • 利用配方法确定该二次函数的最大值，从而得证。

✅【答案】

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综上所述，$f(x)\le 1$ 的解集为 $M=\{x\mid 0\le x\le \frac{4}{3}\}$。；即 $x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2\le \frac{1}{4}$ 得证

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-3,& x\in [1,+\infty )\\ 1-x,& x\in (-\infty ,1)\end{array}$

① 当 $x\ge 1$ 时，由 $f(x)=3x-3\le 1$ 得 $x\le \frac{4}{3}$。 所以 $1\le x\le \frac{4}{3}$。 ② 当 $x<1$ 时，由 $f(x)=1-x\le 1$ 得 $x\ge 0$。 所以 $0\le x<1$。 综上所述，$f(x)\le 1$ 的解集为 $M=\{x\mid 0\le x\le \frac{4}{3}\}$。

(2) 证明： 由 $g(x)=16x^2-8x+1\le 4$ 得 $(4x-1{)}^2\le 4$。 即 $-2\le 4x-1\le 2⟹-\frac{1}{4}\le x\le \frac{3}{4}$。 故 $N=\{x\mid -\frac{1}{4}\le x\le \frac{3}{4}\}$。 所以 $M\cap N=\{x\mid 0\le x\le \frac{3}{4}\}$。

当 $x\in M\cap N$ 时，$x<1$，此时 $f(x)=1-x$。 将 $f(x)$ 代入待证不等式左边： $x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2=xf(x)[x+f(x)]$ $=x(1-x)[x+(1-x)]$ $=x(1-x)=-x^2+x$

利用配方法求最值： $-x^2+x=-(x^2-x)=-(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{4}$ 由于 $-(x-\frac{1}{2}{)}^2\le 0$， 所以 $x(1-x)\le \frac{1}{4}$。 即 $x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2\le \frac{1}{4}$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段讨论法处理绝对值、二次函数区间最值。

2. 核心方法：整体代换与化简。本题第二问若不进行因式分解，直接代入 $f(x)=1-x$ 展开计算量会略大。识别出 $x+f(x)=1$ 是简化计算的关键。

3. 避坑指南：在解分段不等式时，必须将解得的范围与对应的分段前提条件取交集。例如 $x<1$ 条件下解得 $x\ge 0$，则该段结论应为 $0\le x<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 柯西不等式、均值不等式（本题中 $x(1-x)\le (\frac{x+1-x}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$ 亦可证明最后一步）。

2. 结论推广: 绝对值不等式 $|x-a|+|x-b|\ge |a-b|$ 常用于求最值。

3. 方法推广: 证明 $A\le B$ 的常用方法有差值法（$A-B\le 0$）和配方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式