2019-全国卷III文-07 单-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）已知曲线 $y=a{\mathrm{e}}^x+x\ln x$ 在点 $(1,a\mathrm{e})$ 处的切线方程为 $y=2x+b$，则 ()

A. $a=\mathrm{e},b=-1$　　　　　　　　　　　　　B. $a=\mathrm{e},b=1$

C. $a={\mathrm{e}}^{-1},b=1$　　　　　　　　　　　　D. $a={\mathrm{e}}^{-1},b=-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求函数 $y$ 关于 $x$ 的导数 $y^{\prime }$。
2. 代入横坐标 $x=1$，利用导数等于切线斜率 2 列出方程求出参数 $a$。
3. 将切点坐标代入切线方程求出 $b$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=a{\mathrm{e}}^x+x\ln x$， 求导得 $y^{\prime }=a{\mathrm{e}}^x+\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=a{\mathrm{e}}^x+\ln x+1$。 在点 $(1,a\mathrm{e})$ 处的切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=a{\mathrm{e}}^1+\ln 1+1=a\mathrm{e}+1$。 由切线方程 $y=2x+b$ 知切线斜率为 2， 所以 $a\mathrm{e}+1=2⟹a\mathrm{e}=1⟹a={\mathrm{e}}^{-1}$。 此时切点坐标为 $(1,1)$。 将切点 $(1,1)$ 代入切线方程 $y=2x+b$ 中得： $1=2(1)+b⟹b=-1$。 故 $a={\mathrm{e}}^{-1},b=-1$。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义。
2. 核心方法：求导求斜率、点代入方程。
3. 避坑指南：求导时注意乘积求导法则（如 $x\ln x$ 的导数）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数几何意义综合题。
2. 结论推广: 熟练掌握对数与指数函数的求导公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2010-广东卷文-21 解-导数切线距离比