2019-全国卷III文-21 解-抛物线切线

本题导读

本题考查抛物线的切线方程。核心在于解析几何法、韦达定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）已知曲线 $C:y=\frac{x^2}{2}$，$D$ 为直线 $y=-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$.

(1) 证明：直线 $AB$ 过定点；

(2) 若以 $E\left(0,\frac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求该圆的方程。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问设出动点 $D(t,-\frac{1}{2})$，利用导数求出过点 $D$ 的切线方程，进而得到切点弦 $AB$ 的直线方程，证明其恒过定点。
2. 第(2)问结合中点坐标与圆和直线相切的几何性质（圆心到切线距离等于半径）列方程求解圆的方程。

✅【答案】

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(1) 证明见解析（直线 $AB$ 恒过定点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$，即焦点）

(2) $x^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2=4$ 或 $x^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $D(t,-\frac{1}{2})$。设切点 $P(x_0,y_0)$，因为 $y^{\prime }=x$， 故过切点的切线方程为 $y-\frac{x_0^2}{2}=x_0(x-x_0)⟹y=x_{0}x-\frac{x_0^2}{2}$。 因为切线过点 $D(t,-\frac{1}{2})$，代入得 $-\frac{1}{2}=x_{0}t-\frac{x_0^2}{2}⟹x_0^2-2t{x}_0-1=0$. 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1,x_2$ 是上述方程的两个实根， 由韦达定理知 $x_1+x_2=2t$，$x_1{x}_2=-1$. 切点弦 $AB$：以 $A$ 为基点、斜率取 $\frac{x_1+x_2}{2}$，得 $y-\frac{x_1^2}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}(x-x_1)$，即

$y=\frac{x_1+x_2}{2}x-\frac{x_1{x}_2}{2}=tx+\frac{1}{2},$

即 $2tx-2y+1=0$，恒过定点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$——正是抛物线的焦点.

(2) 由 (1)，$AB:y=tx+\frac{1}{2}$。代入 $y=\frac{x^2}{2}$ 得 $x^2-2tx-1=0$，故

$x_1+x_2=2t,y_1+y_2=t(x_1+x_2)+1=2t^2+1,$

中点 $M\left(t,t^2+\frac{1}{2}\right)$。因圆与 $AB$ 相切于 $M$，故 $EM\perp AB$。而

$\overrightarrow{EM}=\left(t,t^2-2\right),$

$AB$ 的方向向量为 $(1,t)$，于是

$t+t\left(t^2-2\right)=0⟹t=0\text{或}t=\pm 1.$

• $t=0$：$M\left(0,\frac{1}{2}\right)$，$|EM|=2$，圆为 $x^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2=4$；
• $t=\pm 1$：$M\left(\pm 1,\frac{3}{2}\right)$，$|EM|=\sqrt{2}$，圆为 $x^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线切线、定点问题、圆与直线相切。
2. 核心方法：设点消元法、韦达定理、点到直线距离公式。
3. 避坑指南：第(1)问中切线方程的推导及弦方程的联立要严谨，防止符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴题经典题型。
2. 结论推广: 抛物线 $x^2=2py$ 的准线上一点引两条切线，其切点弦恒过焦点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-江苏卷-17 解-圆的方程