2019-全国卷III理-06 单-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及导数的运算法则。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）已知曲线 $y=a{e}^x+x\ln x$ 在点 $(1,ae)$ 处的切线方程为 $y=2x+b$，则()

A. $a=e,b=-1$　　　　　　　　　　　　　B. $a=e,b=1$

C. $a=e^{-1},b=1$　　　　　　　　　　　　D. $a=e^{-1},b=-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导获取斜率： 对函数 $y=a{e}^x+x\ln x$ 求导。利用导数的几何意义，切点 $x=1$ 处的导数值 $y^{\prime }{|}_{x=1}$ 应等于切线 $y=2x+b$ 的斜率 2。由此建立关于 $a$ 的方程。
2. 确定切点坐标： 求出 $a$ 后，切点坐标 $(1,ae)$ 变为确定值。
3. 点在线上： 切点 $(1,ae)$ 既在曲线上，也在切线 $y=2x+b$ 上。将切点坐标代入切线方程，求出常数 $b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 第一步：求导并计算 $a$ 对 $y=a{e}^x+x\ln x$ 求导： $y^{\prime }=(a{e}^x{)}^{\prime }+(x\ln x{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=a{e}^x+(1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x})$ $y^{\prime }=a{e}^x+\ln x+1$ 根据题意，在 $x=1$ 处的切线斜率为 2： $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=a{e}^1+\ln 1+1=2$ $ae+0+1=2⟹ae=1$ 解得 $a=\frac{1}{e}=e^{-1}$。

第二步：计算切点纵坐标 将 $a=e^{-1}$ 代入切点坐标 $(1,ae)$： 纵坐标 $y=e^{-1}\cdot e=1$。 即切点为 $(1,1)$。

第三步：代入切线方程求 $b$ 将切点 $(1,1)$ 代入切线方程 $y=2x+b$： $1=2(1)+b$ $1=2+b⟹b=-1$。

综上所述，$a=e^{-1}$，$b=-1$。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “一套动作”：解决切线问题的标准动作是：求导 $\to$ 代入 $x_0$ 求斜率 $\to$ 写方程/利用已知方程建系。

2. 切点的双重身份：切点 $(x_0,y_0)$ 是曲线与切线的唯一公共点（在局部领域内），因此它必须满足两个方程。

3. 求导细心度：本题中 $x\ln x$ 的求导使用了乘积法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，这是学生最容易漏掉后面 $+1$ 的地方。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理切线相关的三种题型：

1. 已知切点：最简单，直接求导即可。
2. 已知斜率：先设切点 $(x_0,y_0)$，求导令 $f^{\prime }(x_0)=k$ 算出 $x_0$。
3. 点在曲线外：最难，需设切点 $(x_0,f(x_0))$，利用斜率 $k=f^{\prime }(x_0)=\frac{f(x_0)-y_{外}}{x_0-x_{外}}$ 建立方程。

此外，本题涉及的函数 $y=a{e}^x+x\ln x$ 是指数与对数混合型，在导数压轴题中经常出现，建议标记为“基础模型”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2014-广东卷文-11 填-导数切线