2019-全国卷III理-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前项和公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} \neq = 0$ ， $a_{2} = 3 a_{1}$ ，则 $\frac{S _{10}}{S _{5}} =$ 。

🔍【思路分析】

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建立 $d$ 与 $a_{1}$ 的关系：利用通项公式 $a_{2} = a_{1} + d$ ，根据 $a_{2} = 3 a_{1}$ 求出公差 $d$ 用 $a_{1}$ 表示的形式。

写出 $S_{n}$ 的表达式：分别写出 $S_{10}$ 和 $S_{5}$ 的求和公式。

比例化简：将第一步中的关系式代入求和公式，消去 $a_{1}$ （由于 $a_{1} \neq = 0$ ），计算最终数值。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 4 【解析过程】 第一步：确定 $d$ 与 $a_{1}$ 的关系 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ 。由 $a_{2} = 3 a_{1}$ 得： $a_{1} + d = 3 a_{1}$ $∴ d = 2 a_{1}$ 。

第二步：计算 $S_{10}$ 与 $S_{5}$ 利用求和公式 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d$ ：

$S_{10} = 10 a_{1} + \frac{10 \times 9}{2} d = 10 a_{1} + 45 d$ 将 $d = 2 a_{1}$ 代入： $S_{10} = 10 a_{1} + 45 (2 a_{1}) = 10 a_{1} + 90 a_{1} = 100 a_{1}$ 。

$S_{5} = 5 a_{1} + \frac{5 \times 4}{2} d = 5 a_{1} + 10 d$ 将 $d = 2 a_{1}$ 代入： $S_{5} = 5 a_{1} + 10 (2 a_{1}) = 5 a_{1} + 20 a_{1} = 25 a_{1}$ 。

第三步：求比值 $\frac{S _{10}}{S _{5}} = \frac{100 a _{1}}{25 a _{1}} = 4$ 。

故填：4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

结构化思维：等差数列的 $S_{n}$ 是关于 $n$ 的二次函数（常数项为 0），即 $S_{n} = A n^{2} + B n$ 。当 $d = 2 a_{1}$ 时，代入公式可得 $S_{n} = n a_{1} + n (n - 1) a_{1} = n^{2} a_{1}$ 。

快捷技巧：如果发现 $S_{n} = a_{1} n^{2}$ ，那么 $\frac{S _{10}}{S _{5}} = \frac{1 0 ^{2} a _{1}}{5 ^{2} a _{1}} = \frac{100}{25} = 4$ 。这在填空题中可以极大地节省时间。

前提条件：题目强调 $a_{1} \neq = 0$ 是为了保证比例分母不为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下结论：

$S_{n}$ 的比例特征：在等差数列中， $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ 构成等差数列。

通项与求和的奇偶性：若 $d = 2 a_{1}$ ，则 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) (2 a_{1}) = (2 n - 1) a_{1}$ ，这是一个奇数数列的倍数，其前 $n$ 项和必然正比于 $n^{2}$ （即 $S_{n} = n^{2} a_{1}$ ）。

常用比例：若 $a_{1} = 1, d = 2$ （即奇数数列 $1, 3, 5, \dots$ ），则 $S_{n} = n^{2}$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项

2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项

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2019-全国卷III理-14 填-等差数列

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