2019-全国卷III理-15 填-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的定义。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）设 $F_1,F_2$ 为椭圆 $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ 的两个焦点，$M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限。若 $△M{F}_1{F}_2$ 为等腰三角形，则 $M$ 的坐标为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 获取基本量： 由椭圆方程知 $a^2=36,b^2=20$，计算 $c=\sqrt{a^2-b^2}=4$。 则 $2a=12$，焦距 $|F_1{F}_2|=2c=8$。
2. 等腰三角形分类讨论： 在 $△M{F}_1{F}_2$ 中，三边长分别为 $|M{F}_1|,|M{F}_2|,|F_1{F}_2|$。

• 情况 1：$|M{F}_1|=|M{F}_2|$。此时 $M$ 在 $y$ 轴上，与“第一象限”矛盾。
• 情况 2：$|M{F}_2|=|F_1{F}_2|=8$。由定义 $|M{F}_1|=12-8=4$。但在第一象限内 $|M{F}_1|>|M{F}_2|$ 恒成立（左焦点更远），故矛盾。
• 情况 3：$|M{F}_1|=|F_1{F}_2|=8$。由定义 $|M{F}_2|=12-8=4$。符合第一象限特征。

3. 求解坐标： 利用点 $M(x,y)$ 到 $F_2(4,0)$ 的距离公式或面积法求出纵坐标 $y$，再代入椭圆方程求 $x$。

✅【答案】

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$(3,\sqrt{15})$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(3,\sqrt{15})$ 【解析过程】 第一步：计算几何常数 椭圆中 $a=6,b=2\sqrt{5},c=\sqrt{36-20}=4$。 焦点 $F_1(-4,0),F_2(4,0)$，焦距 $|F_1{F}_2|=8$。 根据椭圆定义，$|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a=12$。

第二步：确定边长关系 $\because M$ 在第一象限，$\therefore |M{F}_1|>|M{F}_2|$。 若 $△M{F}_1{F}_2$ 为等腰三角形，由于 $|M{F}_1|\ne |M{F}_2|$，只能是腰等于底边： 只能是 $|M{F}_1|=|F_1{F}_2|=8$。 代入定义式：$8+|M{F}_2|=12⟹|M{F}_2|=4$。

第三步：计算点 M 坐标 设 $M(x_0,y_0)$，由焦半径公式（或距离公式）： $|M{F}_2|=a-e{x}_0=6-\frac{4}{6}{x}_0=4$ $\frac{2}{3}{x}_0=2⟹x_0=3$。 将 $x_0=3$ 代入椭圆方程： $\frac{9}{36}+\frac{y_0^2}{20}=1⟹\frac{1}{4}+\frac{y_0^2}{20}=1$ $\frac{y_0^2}{20}=\frac{3}{4}⟹y_0^2=15$。 $\because y_0>0,\therefore y_0=\sqrt{15}$。 所以 $M$ 的坐标为 $(3,\sqrt{15})$。

故填：$(3,\sqrt{15})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 等腰三角形的隐含限制：在椭圆中，$|M{F}_1|=|M{F}_2|$ 仅当 $M$ 位于短轴端点时成立。本题限制在“第一象限”，直接排除了这种可能。
2. 焦半径公式的威力：使用 $|M{F}_2|=a-ex$ 比使用两点间距离公式 $\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}=4$ 结合椭圆方程化简要快得多。
3. 数形结合：画出草图可以直观发现 $M$ 靠近右焦点 $F_2$，从而确定 $|M{F}_1|$ 才是那个较长的“腰”。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下焦点三角形 $△M{F}_1{F}_2$ 的高频结论：

1. 周长：$L=|M{F}_1|+|M{F}_2|+|F_1{F}_2|=2a+2c$，为定值。
2. 面积公式：$S_{△M{F}_1{F}_2}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$（其中 $\theta =\angle F_{1}M{F}_2$）。
3. 离心率与角度：若 $\angle F_{1}M{F}_2=90^{\circ }$，则有 $S=b^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-新课标I卷理-10 单-椭圆方程与性质