2019-北京卷文-05 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及双曲线中 $a,b,c$ 的。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ 的离心率是 $\sqrt{5}$，则 $a=$ ()

A. $\sqrt{6}$　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线方程明确 $a$ 和 $b$ 的值（此处 $b=1$）。
2. 利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 建立方程求解 $a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 可知，$a>0,b=1$。 半焦距 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+1}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\sqrt{5}$。 两边平方得：$\frac{a^2+1}{a^2}=5$， $a^2+1=5a^2⟹4a^2=1⟹a^2=\frac{1}{4}$。 因为 $a>0$，所以 $a=\frac{1}{2}$。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率。
2. 核心方法：利用 $c^2=a^2+b^2$ 代入求解。
3. 避坑指南：注意 $b^2=1$ 而不是 $1^2$ 的疏忽，准确运用离心率公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第5题。
2. 结论推广: 熟练掌握圆锥曲线中离心率的计算通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-北京卷理-06 单-双曲线性质