2019-北京卷文-14 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数与实际应用，以及不等式的恒成立与最值。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 $60$ 元/盒、$65$ 元/盒、$80$ 元/盒、$90$ 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 $120$ 元，顾客就少付 $x$ 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 $80\%$. ① 当 $x=10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 $1$ 盒，需要支付$\underline{}$元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：计算草莓（60元）和西瓜（80元）各1盒的促销前总价，判断是否达到120元，代入 $x=10$ 计算顾客实际支付金额。
2. 第二问：设任一笔订单的促销前总价为 $M$ 元。促销后顾客支付 $(M-x)$ 元，李明得到的金额为 $0.8(M-x)$。要求李明得到的金额不低于促销前总价的七折，即 $0.8(M-x)\ge 0.7M$ 对所有满足条件的订单恒成立，从而求出 $x$ 的最大值。

✅【答案】

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$130$；$15$.

✍【详细解析】

Abstract

① 当 $x=10$ 时，购买草莓 1 盒（60元）和西瓜 1 盒（80元）： 促销前总价 $M=60+80=140$ 元。 因为 $140\ge 120$，满足优惠条件，所以顾客少付 $10$ 元。 顾客实际需要支付 $140-10=130$ 元。

② 设某笔订单促销前的总价为 $M$ 元（$M\ge 120$）。 顾客少付 $x$ 元后，实际支付 $(M-x)$ 元。 李明得到的金额为 $0.8(M-x)$。 根据题意，李明得到的金额不低于促销前总价的七折，即： $0.8(M-x)\ge 0.7M$， 变形得：$0.8M-0.8x\ge 0.7M$， $0.1M\ge 0.8x⟹x\le \frac{1}{8}M=0.125M$. 因为该优惠条件对所有达到 120 元的订单均需成立， 所以 $x$ 的最大值应由满足条件的最少总价 $M=120$ 元来决定（因为 $M$ 越小，$\frac{1}{8}M$ 越小）： 当 $M=120$ 时，$x\le 0.125\times 120=15$. 故 $x$ 的最大值为 $15$. 故答案为：$130$；$15$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 实际应用问题、不等式恒成立。
2. 核心方法: 极值法（取临界条件 $M=120$）。
3. 避坑指南: 注意理解“得到的金额”是支付款的 80%，而“七折”是针对促销前总价而言。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第14题。
2. 结论推广: 商业促销模型中的利润与优惠边界计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-浙江理-13 填-分段函数
• 2006-山东卷理-03 单-对数不等式的解法
• 2008-天津卷文-08 单-分段函数不等式