2008-天津卷文-08 单-分段函数不等式

本题导读

考查分段函数不等式。分段去绝对值结构：两段分别解二次不等式取交，再并，得 $[-1,1]$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x⩽0,\\ -x+2,& x>0,\end{array}$ 则不等式 $f(x)⩾x^2$ 的解集为()

A. $[-1,1]$　　　　B. $[-2,2]$　　　　C. $[-2,1]$　　　　D. $[-1,2]$

🔍【思路分析】

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1. $x⩽0$：$x+2⩾x^2$，即 $x^2-x-2⩽0$，$(x-2)(x+1)⩽0$，$-1⩽x⩽2$，与 $x⩽0$ 取交得 $[-1,0]$。
2. $x>0$：$-x+2⩾x^2$，即 $x^2+x-2⩽0$，$(x+2)(x-1)⩽0$，$-2⩽x⩽1$，与 $x>0$ 取交得 $(0,1]$。
3. 并集 $[-1,1]$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽0$ 时，$f(x)=x+2$，不等式为 $x+2⩾x^2\Rightarrow x^2-x-2⩽0\Rightarrow (x-2)(x+1)⩽0\Rightarrow -1⩽x⩽2.$ 结合 $x⩽0$，得 $-1⩽x⩽0$. 当 $x>0$ 时，$f(x)=-x+2$，不等式为 $-x+2⩾x^2\Rightarrow x^2+x-2⩽0\Rightarrow (x+2)(x-1)⩽0\Rightarrow -2⩽x⩽1.$ 结合 $x>0$，得 $0<x⩽1$. 综上，解集为 $[-1,0]\cup (0,1]=[-1,1]$. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数不等式

核心方法：$[-1,0]\cup (0,1]=[-1,1]$

避坑指南：分段函数不等式逐段解、段内取交、段间取并；两段都是二次不等式，十字相乘后务必与段的定义域再取一次交。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段不等式是天津卷常客，2009 天津文第 8 题、2010 江苏卷第 11 题同型。

结论推广：$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$；$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$。

方法推广：两段解出的 $[-1,2]$、$[-2,1]$ 都不是最终答案——必须各与 $x⩽0$、$x>0$ 取交；并集时注意端点 $0$ 的归属已由分段覆盖。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2010-江苏卷-11 填-分段函数不等式
• 2010-天津卷文-10 单-分段函数值域
• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程