2019-北京卷理-14 填-函数应用

本题导读

本题考查函数模型与不等式应用。核心在于列表分析法、参数分离法 (求最小值)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、 65 元/盒、 80 元/盒、 90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 $x$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%．

① 当 $x=10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 $\underline{}$ 元；

② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空：基础计算

   • 提取价格：草莓 60，西瓜 80。

   • 判断是否触发促销：$60+80=140$。

   • 140 超过了 120 的门槛，故扣减 $x=10$。

2. 第二空：建立不等式模型

   • 设定变量：设促销前的总价为 $y$。

   • 核心条件：李明得到的金额 $\ge y\times 70\%$。

   • 分情况讨论：

     • 若 $y<120$：无促销，李明得到 $y\times 80\%$，显然大于 $y\times 70\%$，恒成立。

     • 若 $y\ge 120$：有促销，顾客支付 $(y-x)$ 元，李明得到 $(y-x)\times 80\%$。

   • 转化：使 $(y-x)\cdot 0.8\ge 0.7y$ 对于所有可能的 $y\ge 120$ 恒成立。

✅【答案】

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$130$； $15$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $130$； $15$

【解析过程】

1. 求解第一空：

   • 总价 $y=60+80=140$。

   • 因为 $140>120$，符合促销条件。

   • 支付款 = $140-10=130$ 元。

2. 求解第二空：

   • 设促销前总价为 $y$。当 $y\ge 120$ 时，根据题意列出不等式：

     $(y-x)\times 80\%\ge y\times 70\%$

   • 化简不等式：

     $0.8y-0.8x\ge 0.7y$

     $0.1y\ge 0.8x⟹8x\le y⟹x\le \frac{y}{8}$

   • 恒成立转化：

     要使 $x\le \frac{y}{8}$ 对于所有满足促销条件的 $y$ 恒成立，则 $x$ 必须小于或等于 $\frac{y}{8}$ 的 最小值。

   • 寻找 $y$ 的最小值：

     促销门槛为 $y\ge 120$。

     当 $y=120$ 时，$\frac{y}{8}$ 取得最小值：$\frac{120}{8}=15$。

   • 因此，$x\le 15$，即 $x$ 的最大值为 $15$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数学建模意识： 北京卷的压轴题往往不难在计算，而难在将文字叙述转化为数学符号。理清“总价”、“支付款”、“所得款”三者之间的比例关系是破题关键。

2. 最小值准则： 在恒成立问题中，“小于等于恒成立”对应“小于等于最小值”。这里的 $y$ 是自变量，其取值范围由“达到120元”这一门槛决定。

3. 生活常识结合： 这种折扣与满减叠加的场景在电商中非常普遍。本题考查的是商家在进行满减活动时，如何通过计算确保自己的毛利率不低于底线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 起征点的影响： 如果促销起征点调高（如 150 元），则 $x$ 的容忍最大值会随之变大。

2. 折扣与满减的对比：

   • 满减（$y-x$）对单价低的组合（接近120元）折扣力度最大。

   • 打折（$ky$）对高客单价订单折扣力度更大。

   • 北京卷风格： 喜欢考查这种带有决策性质的应用题，要求考生不仅会算，还要能理解政策边界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2010-浙江卷文-16 填-增长率不等式