2019-天津卷文-06 单-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的焦点与准线，以及双曲线的渐近线与离心率。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$。若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$，且 $|AB|=4|OF|$ ($O$ 为原点)，则双曲线的离心率为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 求出抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 坐标及准线 $l$ 方程，得出 $|OF|$ 的值。
2. 写出双曲线的渐近线方程，并与准线联立求出交点 $A,B$ 的坐标。
3. 根据 $|AB|=4|OF|$ 建立关于 $a,b$ 的方程，进而求出离心率 $e$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$，准线 $l:x=-1$，原点到焦点距离 $|OF|=1$。 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=\frac{b}{a}x\\ x=-1\end{array}$ 得点 $A\left(-1,-\frac{b}{a}\right)$； 联立 $\{\begin{array}{l}y=-\frac{b}{a}x\\ x=-1\end{array}$ 得点 $B\left(-1,\frac{b}{a}\right)$。 两点间距离 $|AB|=\left|-\frac{b}{a}-\frac{b}{a}\right|=\frac{2b}{a}$。 由 $|AB|=4|OF|$ 得 $\frac{2b}{a}=4\times 1=4$，即 $b=2a$。 双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5}$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线的交点问题与离心率计算。
2. 核心方法：联立方程法、几何性质法。
3. 避坑指南：注意对称性及坐标绝对值的处理，避免计算线段长度时出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线基础与几何性质相结合的经典试题。
2. 结论推广: 若渐近线与准线交距确定，可直接建立 $b$ 与 $a$ 的比例关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率