2019-天津卷文-08 单-分段函数零点

本题导读

本题考查分段函数与方程根的个数，以及数形结合法。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}2\sqrt{x},& 0⩽x⩽1,\\ \frac{1}{x},& x>1,\end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=-\frac{1}{4}x+a$ ($a\in \mathbf{R}$) 恰有两个互异的实数解，则 $a$ 的取值范围为 ()

A. $\left[\frac{5}{4},\frac{9}{4}\right]$　　B. $\left(\frac{5}{4},\frac{9}{4}\right]$　　C. $\left(\frac{5}{4},\frac{9}{4}\right]\cup \{1\}$　　D. $\left[\frac{5}{4},\frac{9}{4}\right]\cup \{1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程 $f(x)=-\frac{1}{4}x+a$ 的解等价于函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=-\frac{1}{4}x+a$ 的交点个数。
2. 在同一坐标系中画出分段函数 $y=f(x)$ 的图象。
3. 分析斜率为 $-\frac{1}{4}$ 的平行移动直线与 $y=f(x)$ 各段图象相交的情况，确定恰有两个交点时的参数 $a$ 的范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

画出函数 $f(x)$ 的图象： 当 $0⩽x⩽1$ 时，$y=2\sqrt{x}$ 是抛物线的一部分，起点为 $(0,0)$，终点为 $(1,2)$； 当 $x>1$ 时，$y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数的一部分，从 $(1,1)$ 开始单调递减趋向于 $0$。 在 $x=1$ 处，左极限为 $2$，右极限为 $1$（图象在 $x=1$ 处断开）。 直线 $y=-\frac{1}{4}x+a$ 是一条斜率为 $-\frac{1}{4}$ 的平行直线系。 分情况讨论直线与图象交点情况：

1. 当直线经过点 $(1,1)$ 时（即 $y=\frac{1}{x}$ 部分的起点）： $1=-\frac{1}{4}(1)+a⟹a=\frac{5}{4}$。此时直线与 $y=\frac{1}{x}$ 在 $x>1$ 时有一个交点，与 $y=2\sqrt{x}$ 在 $0⩽x⩽1$ 时有一个交点（相切或相交？代入检验：联立 $\{\begin{array}{l}y=2\sqrt{x}\\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\end{array}⟹2\sqrt{x}=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}⟹x+8\sqrt{x}-5=0$，设 $\sqrt{x}=t\ge 0$，则 $t^2+8t-5=0$，解得 $t=-4\pm \sqrt{21}$，由于 $t\ge 0$，故 $t=\sqrt{21}-4>0$，所以有 $1$ 个解）。因此 $a=\frac{5}{4}$ 时恰有两个交点。
2. 当直线与抛物线 $y=2\sqrt{x}$ 相切时： 联立 $\{\begin{array}{l}y=2\sqrt{x}\\ y=-\frac{1}{4}x+a\end{array}⟹-\frac{1}{4}x+a=2\sqrt{x}⟹x+8\sqrt{x}-4a=0$。 令 $t=\sqrt{x}\ge 0$，则 $t^2+8t-4a=0$。 相切意味着关于 $t$ 的二次方程有两个相等的实根或在 $t\ge 0$ 处有重根，此时判别式 $\Delta =64-4(-4a)=0⟹64+16a=0$（无解，因为 $a$ 为正）； 或者切点在 $0⩽x⩽1$ 范围内。相切时 $\Delta =64+16a=0$ 不对，应该是 $t^2+8t-4a=0$ 有唯一非负根，或者由相切条件：对 $2\sqrt{x}$ 求导得 $y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{4}⟹\sqrt{x}=-4$（无解）。 实际上，当直线过点 $(1,2)$（抛物线端点）时： $2=-\frac{1}{4}(1)+a⟹a=\frac{9}{4}$。 当 $a=\frac{9}{4}$ 时，直线与 $y=2\sqrt{x}$ 交于 $(1,2)$，与 $y=\frac{1}{x}$ 在 $x>1$ 处有一个交点，总共两个交点。 当 $\frac{5}{4}<a<\frac{9}{4}$ 时，直线与抛物线有 $1$ 个交点，与反比例函数有 $1$ 个交点，共 $2$ 个交点。 当 $a=1$ 时：直线为 $y=-\frac{1}{4}x+1$，当 $x=4$ 时 $y=0$，与 $y=\frac{1}{x}$ 交于一点；当 $x=0$ 时 $y=1$，与 $y=2\sqrt{x}$ 交于一点（$\left(\frac{1}{4},1\right)$），此时也有两个交点。 经仔细核对图形与临界状态：$a\in \left(\frac{5}{4},\frac{9}{4}\right]\cup \{1\}$。 对照选项：(D) $\left[\frac{5}{4},\frac{9}{4}\right]\cup \{1\}$ 包含闭区间，其中 $a=\frac{5}{4}$ 时恰有两个交点（已验证），$a=\frac{9}{4}$ 时有两个交点，且 $a=1$ 时也有两个交点。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数方程根的分布与数形结合。
2. 核心方法：数形结合法，重点考察边界点与切点。
3. 避坑指南：分段函数在分界点处不连续，必须对分界点（如 $x=1$ 处的值）进行严格检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考选择题压轴题中常见的函数与方程交点问题。
2. 结论推广: 借助动态直线的平移与函数图象的临界位置是解决此类题型的通法。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2003-全国卷理-14
• 2011-陕西卷文-06 单-绝对值与余弦方程根
• 2012年新课标Ⅰ理-11