2011-陕西卷文-06 单-绝对值与余弦方程根

本题导读

本题考查方程根的个数，以及函数与方程。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 方程 $|x|=\cos x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内 ()

A. 没有根　　　　　　　　　　　　　　　　　B. 有且仅有一个根

C. 有且仅有两个根　　　　　　　　　　　　　D. 有无穷多个根

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：限制范围到 $[-1,1]$
2. 步骤2：单侧用单调性证唯一根
3. 步骤3：再用偶函数对称加倍

✅【答案】

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C有且仅有两个根

✍【详细解析】

Abstract

若 $|x|=\cos x$，由 $|\cos x|⩽1$ 得 $|x|⩽1$，故根只能在 $[-1,1]$ 内。

当 $x⩾0$ 时方程化为 $x=\cos x$。令 $h(x)=\cos x-x$，则 $h^{\prime }(x)=-\sin x-1⩽0$，且仅在孤立点取等号，故 $h$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。

$h(0)=1>0$，$h(1)=\cos 1-1<0$，由零点存在定理，$h$ 在 $(0,1)$ 内恰有一个零点，即方程在 $[0,+\infty )$ 内恰有一根 $x_0\in (0,1)$。

方程两边对应的函数 $|x|$ 与 $\cos x$ 都是偶函数，故 $-x_0$ 也是根；而 $x=0$ 时 $0\ne \cos 0=1$，不是根。

所以方程有且仅有两个根，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程根的存在性与唯一性；偶函数图象的对称性

核心方法：先用有界性压缩范围，再在单侧区间用导数（或单调性）证唯一性，最后借对称性翻倍

避坑指南：范围压缩是第一步：漏掉 $|x|⩽1$ 会误选 D（以为 $\cos x$ 周期出现就有无穷多根）；$h^{\prime }(x)⩽0$ 中等号只在孤立点成立不影响单调性；$x=0$ 必须单独检验——它是对称中心却不是根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方程根个数题与 2012-北京卷文-05、2012-湖北卷文-03、2012-湖南卷文-09 同族。

结论推广：推广：判断 $f(x)=g(x)$ 根的个数的一般流程——定义域压缩 $\to$ 奇偶（周期）性约化 $\to$ 单调区间内用零点存在定理计数 $\to$ 对称（周期）复制。

方法推广：根的个数题：先找函数结构（这里 $y=|x|$ 与 $y=\cos x$ 图象交点个数），图象法定位，再用严格论证收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数
• 2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数
• 2012-湖南卷文-09 单-抽象函数零点个数