2019-天津卷文-11 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及曲线上某点处的切线方程。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）曲线 $y=\cos x-\frac{x}{2}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 求出函数 $y=f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$。
2. 计算切点处的导数值，即为切线斜率 $k$。
3. 利用点斜式写出切线方程并化简。

✅【答案】

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$x+2y-2=0$（或 $y=-\frac{1}{2}x+1$）

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=\cos x-\frac{x}{2}$，其导数为 $f^{\prime }(x)=-\sin x-\frac{1}{2}$。 切点横坐标为 $x_0=0$，则切线斜率 $k=f^{\prime }(0)=-\sin (0)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。 已知切点为 $(0,1)$，由点斜式得切线方程为： $y-1=-\frac{1}{2}(x-0)$， 化简得：$x+2y-2=0$（或写成 $y=-\frac{1}{2}x+1$）。 故答案为：$x+2y-2=0$（或 $y=-\frac{1}{2}x+1$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切线斜率）。
2. 核心方法：求导—代入横坐标得斜率—点斜式方程。
3. 避坑指南：需先验证给出地点 $(0,1)$ 是否在曲线上（当 $x=0$ 时 $y=\cos 0-0=1$，确实在曲线上）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数几何意义的基本应用。
2. 结论推广: 若点不在曲线上，则需求出设切点的方法进行求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线