2019-天津卷文-12 填-外接球

本题导读

本题考查内切圆柱，以及空间几何体的体积。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$。若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据四棱锥的结构特征，确定底面正方形中心到底面各顶点及侧棱中点的几何关系。
2. 利用中位线性质或空间坐标系求出过四条侧棱中点的圆柱底面半径 $R$ 和圆柱的高 $h$。
3. 代入圆柱体积公式 $V=\pi R^{2}h$ 进行计算。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设四棱锥为 $P-ABCD$，底面正方形边长为 $\sqrt{2}$，中心为 $O$。 底面正方形外接圆半径（即顶点到中心距离） $r=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2}=1$。 四棱锥高 $H=\sqrt{P{A}^2-r^2}=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-1^2}=\sqrt{4}=2$。 圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心 $O$。 设侧棱中点构成的截面平行于底面，且该截面到顶点 $P$ 的距离与到底面距离成比例。由于是中点，该截面到锥底的距离为 $\frac{1}{2}H=\frac{1}{2}\times 2=1$，即圆柱的高 $h=1$。 该截面圆的半径 $R$ 等于底面外接圆半径的一半（根据相似三角形性质）：$R=\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$。 因此，该圆柱的体积 $V=\pi R^{2}h=\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times 1=\frac{\pi }{4}$。 故答案为：$\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间几何体的截面性质与圆柱体积计算。
2. 核心方法：利用相似三角形原理确定圆柱的半径与高。
3. 避坑指南：仔细审题，明确圆柱的底面圆心与哪个点重合，高和半径分别对应哪段几何线段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间几何体综合计算题。
2. 结论推广: 锥体中平行于底面的截面多边形与底面多边形相似，相似比等于截面到顶点距离与锥高的比值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-23
• 2002-北京卷理-18 解-二面角的平面角及其求法
• 2002-苏豫粤卷-19 解-空间几何体的体积计算