2019-天津卷理-09 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）${\left(2x-\frac{1}{8x^3}\right)}^8$ 展开式中的常数项为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：二项式 $(a+b{)}^n$ 的通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 提取变量 $x$ 的指数：将系数部分与变量部分彻底分离，得到形如 $A\cdot x^{k(r)}$ 的结构。
3. 构造方程：因为要求“常数项”，所以令变量 $x$ 的整体指数 $k(r)=0$。
4. 解方程求值：解出整数 $r$ 后，将其代回系数部分 $A$ 中，计算出最终的常数项。

✅【答案】

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28

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 28

【解析过程】 已知二项式为 ${\left(2x-\frac{1}{8x^3}\right)}^8$。 写出展开式的通项公式： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_8^r(2x{)}^{8-r}{\left(-\frac{1}{8x^3}\right)}^r$ 分离系数与变量 $x$： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_8^r\cdot 2^{8-r}\cdot x^{8-r}\cdot {\left(-\frac{1}{8}\right)}^r\cdot x^{-3r}$ 由于 $-\frac{1}{8}=-\frac{1}{2^3}=-2^{-3}$，合并系数和 $x$ 的指数： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_8^r\cdot 2^{8-r}\cdot (-1{)}^r\cdot 2^{-3r}\cdot x^{8-r-3r}$ $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot {\mathrm{C}}_8^r\cdot 2^{8-4r}\cdot x^{8-4r}$ 因为要求的是常数项，所以令 $x$ 的指数为 0： $8-4r=0⟹4r=8⟹r=2$ 将 $r=2$ 代回系数部分，求得常数项为： $T_{2+1}=(-1{)}^2\cdot {\mathrm{C}}_8^2\cdot 2^{8-4\times 2}$ $T_3=1\cdot \frac{8\times 7}{2\times 1}\cdot 2^0=28\times 1=28$

所以，展开式中的常数项为 $28$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 符号的坑：写通项公式时，第二项如果是负数，一定要连同负号一起带着（如本题中的 $-\frac{1}{8x^3}$），最终往往表现为 $(-1{)}^r$ 的项，漏掉会直接导致正负号错误。
2. 指数幂的运算：分母上的 $x^3$ 等价于 $x^{-3}$，要熟练掌握指数的加减运算法则：$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$。
3. 常数项、有理项与特定系数项：

• 常数项：令 $x$ 的指数为 $0$。
• $x^k$ 的系数：令 $x$ 的指数为 $k$。
• 有理项：令 $x$ 的指数为整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷理-07
• 2012年浙江卷理-11
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理