2019-天津卷理-10 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）${\left(2x-\frac{1}{8x^3}\right)}^8$ 展开式中的常数项为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：二项式 $(a+b{)}^n$ 的通项公式为 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 提取变量 $x$ 的指数：将系数部分与变量部分彻底分离，整理成 $A\cdot x^{k(r)}$ 的形式。
3. 构造方程：因为要求“常数项”，即 $x^0$ 项，所以令变量 $x$ 的整体指数 $k(r)=0$。
4. 计算结果：求出 $r$ 后代入通项公式中的系数部分。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 28

【解析过程】 二项式为 ${\left(2x-\frac{1}{8x^3}\right)}^8$，其通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_8^r(2x{)}^{8-r}{\left(-\frac{1}{8x^3}\right)}^r$ 将系数与变量分离： $T_{r+1}={\text{C}}_8^r\cdot 2^{8-r}\cdot x^{8-r}\cdot (-1{)}^r\cdot 8^{-r}\cdot x^{-3r}$ 由于 $8=2^3$，故 $8^{-r}=2^{-3r}$，合并系数和 $x$ 的指数： $T_{r+1}={\text{C}}_8^r\cdot 2^{8-r}\cdot (-1{)}^r\cdot 2^{-3r}\cdot x^{8-r-3r}$ $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot {\text{C}}_8^r\cdot 2^{8-4r}\cdot x^{8-4r}$ 令 $x$ 的指数为 0： $8-4r=0⟹r=2$ 将 $r=2$ 代入系数部分： 常数项 $=(-1{)}^2\cdot {\text{C}}_8^2\cdot 2^{8-4\times 2}$ 常数项 $=1\cdot \frac{8\times 7}{2\times 1}\cdot 2^0$ 常数项 $=28\times 1=28$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 注意负号：在写 $b^r$ 时，如果项带负号（如 $-\frac{1}{8x^3}$），负号必须参与运算，通常提取为 $(-1{)}^r$。
2. 指数运算性质：熟练掌握 $(x^m{)}^n=x^{mn}$ 以及 $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$。
3. 组合数计算：${\text{C}}_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$。在本题中 ${\text{C}}_8^2=\frac{8\times 7}{2\times 1}=28$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下变式：

• 求有理项：令 $x$ 的指数为整数。
• 求系数最大的项：利用 $\frac{T_{r+1}}{T_r}\ge 1$ 和 $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\le 1$ 建立不等式组。
• 求展开式系数和：令 $x=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷理-07
• 2012年浙江卷理-11
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理