2019-天津卷理-15 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于边角转化法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$。已知 $b+c=2a$，$3c\sin B=4a\sin C$。

(1)求 $\cos B$ 的值；

(2)求 $\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)$ 的值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（边角转化）：

• 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，将已知条件 $3c\sin B=4a\sin C$ 中的角转化为边。
• 结合 $b+c=2a$，将 $b,c$ 均用含有 $a$ 的代数式表示。
• 代入余弦定理公式 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ 即可求值。

2. 第二问（恒等变换）：

• 由 $\cos B$ 求出 $\sin B$（注意三角形内角正弦值必为正）。
• 利用二倍角公式求出 $\sin 2B$ 和 $\cos 2B$。
• 利用两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 展开求解。

✅【答案】

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(1)$\cos B=-\frac{1}{4}$。

(2)$\sin (2B+\frac{\pi }{6})=-\frac{3\sqrt{5}+7}{16}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可知： $\sin B=\frac{b\sin C}{c}$。 代入已知条件 $3c\sin B=4a\sin C$ 得： $3c\cdot \frac{b\sin C}{c}=4a\sin C⟹3b\sin C=4a\sin C$ 因为 $\sin C\ne 0$，所以 $3b=4a$，即 $b=\frac{4}{3}a$。 又已知 $b+c=2a$，所以 $c=2a-b=2a-\frac{4}{3}a=\frac{2}{3}a$。 由余弦定理得： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+(\frac{2}{3}a{)}^2-(\frac{4}{3}a{)}^2}{2\cdot a\cdot \frac{2}{3}a}$ $\cos B=\frac{a^2+\frac{4}{9}{a}^2-\frac{16}{9}{a}^2}{\frac{4}{3}{a}^2}=\frac{-\frac{3}{9}{a}^2}{\frac{4}{3}{a}^2}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}=-\frac{1}{4}$

(2)解： 由(1)知 $\cos B=-\frac{1}{4}$。 因为 $B\in (0,\pi )$，所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-(-\frac{1}{4}{)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。 则二倍角值为： $\sin 2B=2\sin B\cos B=2\times \frac{\sqrt{15}}{4}\times (-\frac{1}{4})=-\frac{\sqrt{15}}{8}$； $\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1=2\times (-\frac{1}{4}{)}^2-1=\frac{1}{8}-1=-\frac{7}{8}$。 所以： $\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2B\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2B\sin \frac{\pi }{6}$ $\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)=\left(-\frac{\sqrt{15}}{8}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{7}{8}\right)\times \frac{1}{2}$ $\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{45}}{16}-\frac{7}{16}=-\frac{3\sqrt{5}+7}{16}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 判定角的状态：$\cos B=-1/4$ 说明 $B$ 是钝角，这与后续 $\sin 2B<0$ 的计算结果逻辑自洽。
2. 公式熟练度：本题对基础公式要求极高。二倍角余弦公式有三种形式，建议根据已知条件灵活选择以减少计算量（如本题已知 $\cos B$，直接用 $2{\cos }^{2}B-1$ 最快）。
3. 根式运算：$\sqrt{45}$ 要化简为 $3\sqrt{5}$，且注意分母通分后的整体表达。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 看到 $\sin A,\sin B,\sin C$ 的线性组合，第一时间联想正弦定理化为 $a,b,c$。
• 得到三边比例关系（如 $a:b:c=3:4:2$）后，可以求出三角形的任何一个余弦值，从而锁定该三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式
• 2009-天津卷理-17
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形