2019-天津卷理-18 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于设而不求 (点坐标表示法)、联立方程判别式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，上顶点为 $B$。已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

(1)求椭圆的方程；

(2)设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上。若 $|ON|=|OF|$ ($O$ 为原点)，且 $OP\perp MN$，求直线 $PB$ 的斜率。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求椭圆方程）：

• 短轴长 $2b=4⟹b=2$。
• 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
• 结合 $a^2=b^2+c^2$ 建立方程组求出 $a$ 和 $c$。

2. 第二问（求斜率）：

• 设参数：设直线 $PB$ 的斜率为 $k$ ($k\ne 0$)，则其方程为 $y=kx+2$（点 $B$ 坐标为 $(0,2)$）。
• 求点 $P,M$ 坐标：
  • 联立直线 $PB$ 与椭圆方程，求出交点 $P$ 的坐标（用 $k$ 表示）。
  • 令 $y=0$ 求出直线 $PB$ 与 $x$ 轴交点 $M$ 的横坐标。
• 利用垂直条件：
  • 写出直线 $OP$ 的斜率 $k_{OP}$。
  • 根据 $|ON|=|OF|$ 确定 $N$ 的坐标，进而求出直线 $MN$ 的斜率 $k_{MN}$。
  • 利用 $OP\perp MN⟺k_{OP}\cdot k_{MN}=-1$ 建立关于 $k$ 的方程并求解。

✅【答案】

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(1)椭圆方程为 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$。

(2)直线 $PB$ 的斜率为 $\pm \frac{2\sqrt{30}}{5}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设椭圆的半焦距为 $c$。由已知： 短轴长 $2b=4⟹b=2$； 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}⟹c=\frac{\sqrt{5}}{5}a$。 在椭圆中，$a^2=b^2+c^2$，代入得： $a^2=4+{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}a\right)}^2=4+\frac{1}{5}{a}^2⟹\frac{4}{5}{a}^2=4⟹a^2=5$。 所以椭圆的方程为 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$。

(2)解： 由(1)得 $c=\sqrt{a^2-b^2}=1$，则焦点 $F(-1,0)$。 由 $|ON|=|OF|$ 且 $N$ 在 $y$ 轴负半轴，得 $N(0,-1)$。 设直线 $PB$ 的斜率为 $k$ ($k\ne 0$)，由于 $B(0,2)$， 则直线 $PB$ 的方程为 $y=kx+2$。 令 $y=0$，得 $M(-\frac{2}{k},0)$。 则直线 $MN$ 的斜率 $k_{MN}=\frac{-1-0}{0-(-\frac{2}{k})}=-\frac{k}{2}$。

联立直线 $PB$ 与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}⟹4x^2+5(kx+2{)}^2=20$ 整理得：$(4+5k^2)x^2+20kx=0$。 解得 $x_1=0$ (对应点 $B$)，$x_P=-\frac{20k}{4+5k^2}$。 代入 $y=kx+2$ 得：$y_P=k(-\frac{20k}{4+5k^2})+2=\frac{-20k^2+8+10k^2}{4+5k^2}=\frac{8-10k^2}{4+5k^2}$。 由此得直线 $OP$ 的斜率 $k_{OP}=\frac{y_P}{x_P}=\frac{8-10k^2}{-20k}=\frac{5k^2-4}{10k}$。

因为 $OP\perp MN$，所以 $k_{OP}\cdot k_{MN}=-1$： $\frac{5k^2-4}{10k}\cdot \left(-\frac{k}{2}\right)=-1$ $\frac{5k^2-4}{-20}=-1⟹5k^2-4=20⟹5k^2=24$ $k^2=\frac{24}{5}$，解得 $k=\pm \sqrt{\frac{24}{5}}=\pm \frac{2\sqrt{30}}{5}$。 所以，直线 $PB$ 的斜率为 $\frac{2\sqrt{30}}{5}$ 或 $-\frac{2\sqrt{30}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “零根”技巧：在直线过顶点（如点 B）时，联立方程得到的二次方程必有一个根为 0（本题中为 $x=0$）。利用这一点可以快速求出另一个交点的坐标，无需使用繁琐的韦达定理。
2. 运算的化简：在表示 $k_{OP}$ 时，分子分母同时约掉公因式，可以有效降低后续乘法运算的难度。
3. 几何条件的翻译：$OP\perp MN$ 翻译为斜率乘积 $-1$ 时，务必检查斜率是否存在。本题中 $k\ne 0$ 且 $M$ 点横坐标不为 $0$，故斜率均存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 斜率乘积为定值：椭圆上两点与中心、顶点连线的斜率乘积常为定值（如 $k_{PB}\cdot k_{PA}$）。
• 坐标代换法：对于涉及 $O,P,M,N$ 多个动点的问题，统一用直线参数（如 $k$）来表达所有动点坐标，是解析几何的通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-新课标I卷理-10 单-椭圆方程与性质