2019-天津卷理-20 解-导数运算法则

本题导读

本题考查导数的运算法则。核心在于构造函数法、变量代换 (平移转化)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x\cos x$，$g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数。

(1)求 $f(x)$ 的单调区间；

(2)当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，证明 $f(x)+g(x)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)>0$；

(3)设 $x_n$ 为函数 $u(x)=f(x)-1$ 在区间 $\left(2n\pi +\frac{\pi }{4},2n\pi +\frac{\pi }{2}\right)$ 内的零点，其中 $n\in \mathbb{N}$。证明：$2n\pi +\frac{\pi }{2}-x_n<\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\pi }}{\sin x_0-\cos x_0}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：直接求导 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(\cos x-\sin x)$，利用三角不等式 $\cos x>\sin x$ 或 $\cos x<\sin x$ 解出单调区间。注意周期性。
2. 第二问：构造辅助函数 $h(x)=f(x)+g(x)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$。通过对其再求导 $h^{\prime }(x)$，观察二阶导符号判定 $h(x)$ 的单调性，利用端点值 $h(\frac{\pi }{2})=0$ 证得结论。
3. 第三问（核心难点）：

• 平移转化：令 $y_n=x_n-2n\pi$，将区间统一平移到 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$。
• 建立联系：由 $f(x_n)=1$ 导出 $f(y_n)={\mathrm{e}}^{-2n\pi }$。
• 利用(2)的结论：将 $f(y_n)+g(y_n)(\frac{\pi }{2}-y_n)>0$ 变形为 $\frac{\pi }{2}-y_n<-\frac{f(y_n)}{g(y_n)}$。
• 放缩：利用 $g(x)$ 的单调性将 $g(y_n)$ 替换为 $g(y_0)$，最终完成证明。

✅【答案】

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(1)单调递增区间为 $(2k\pi -\frac{3\pi }{4},2k\pi +\frac{\pi }{4})$，单调递减区间为 $(2k\pi +\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{5\pi }{4})$（$k\in \mathbb{Z}$）。

(2)证明见解析。

(3)证明见解析。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x\cos x-{\mathrm{e}}^x\sin x={\mathrm{e}}^x(\cos x-\sin x)=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。

• 令 $f^{\prime }(x)>0$，即 $\cos x>\sin x$，解得 $2k\pi -\frac{3\pi }{4}<x<2k\pi +\frac{\pi }{4}$。

• 令 $f^{\prime }(x)<0$，即 $\cos x<\sin x$，解得 $2k\pi +\frac{\pi }{4}<x<2k\pi +\frac{5\pi }{4}$。 所以，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[2k\pi -\frac{3\pi }{4},2k\pi +\frac{\pi }{4}\right]$，$k\in \mathbb{Z}$； 单调递减区间为 $\left[2k\pi +\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{5\pi }{4}\right]$，$k\in \mathbb{Z}$。

(2)证明： 由(1)得 $g(x)=f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(\cos x-\sin x)$。 则 $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(\cos x-\sin x)+{\mathrm{e}}^x(-\sin x-\cos x)=-2{\mathrm{e}}^x\sin x$。 设 $h(x)=f(x)+g(x)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$，对 $h(x)$ 求导： $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)-g(x)=g(x)+g^{\prime }(x)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)-g(x)=g^{\prime }(x)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$。 当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$\sin x>0$，故 $g^{\prime }(x)<0$；且 $\frac{\pi }{2}-x\ge 0$。 所以 $h^{\prime }(x)\le 0$（仅在 $x=\frac{\pi }{2}$ 时为0），$h(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减。 因此 $h(x)>h\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)+g\left(\frac{\pi }{2}\right)(0)={\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}}\cos \frac{\pi }{2}=0$。 即 $f(x)+g(x)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)>0$。

(3)证明： 依题意，$f(x_n)=1$，即 ${\mathrm{e}}^{x_n}\cos x_n=1$。 令 $y_n=x_n-2n\pi$，由于 $x_n\in (2n\pi +\frac{\pi }{4},2n\pi +\frac{\pi }{2})$，故 $y_n\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$。 且 ${\mathrm{e}}^{y_n+2n\pi }\cos (y_n+2n\pi )=1⟹{\mathrm{e}}^{y_n}{\mathrm{e}}^{2n\pi }\cos y_n=1⟹{\mathrm{e}}^{y_n}\cos y_n={\mathrm{e}}^{-2n\pi }$。 即 $f(y_n)={\mathrm{e}}^{-2n\pi }$。 由(1)知 $f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 上单调递减，且 ${\mathrm{e}}^{-2n\pi }$ 随 $n$ 增大而减小，故 $y_n$ 随 $n$ 增大而增大，即 $y_n>y_0$。 由(2)知 $g^{\prime }(x)<0$，故 $g(x)$ 在 $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ 上递减。 因为 $y_n>y_0$，故 $g(y_n)<g(y_0)<g(\frac{\pi }{4})=0$。 由(2)的结论 $f(y_n)+g(y_n)(\frac{\pi }{2}-y_n)>0$ 得： $\frac{\pi }{2}-y_n<-\frac{f(y_n)}{g(y_n)}$（注意 $g(y_n)<0$，不等号翻转）。 代入 $f(y_n)={\mathrm{e}}^{-2n\pi }$ 和 $g(y_0)={\mathrm{e}}^{y_0}(\cos y_0-\sin y_0)$： $\frac{\pi }{2}-y_n<\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\pi }}{-g(y_n)}<\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\pi }}{-g(y_0)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\pi }}{{\mathrm{e}}^{y_0}(\sin y_0-\cos y_0)}$。 由于 ${\mathrm{e}}^{y_0}>1$ (因 $y_0>\frac{\pi }{4}$)，且 $y_0=x_0$，故： $\frac{\pi }{2}-(x_n-2n\pi )<\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\pi }}{\sin x_0-\cos x_0}⟹2n\pi +\frac{\pi }{2}-x_n<\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\pi }}{\sin x_0-\cos x_0}$。 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 构造函数的技巧：第二问构造的 $h(x)$ 实际上是函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的切线在 $\frac{\pi }{2}$ 处的纵坐标（或类似的几何意义）。这种通过二阶导数符号判定构造函数增减性的方法是压轴题常用套路。
2. 周期零点的处理：处理 $x_n$ 时，通过 $y_n=x_n-2n\pi$ 将不同周期的零点“平移”到同一个基本周期内，使得函数性质（单调性、最值）可以统一使用。
3. 精密放缩：第三问最后的放缩 ${\mathrm{e}}^{y_0}>1$ 是为了简化分母。在压轴题中，放缩的“度”很难把握，通常需要紧扣目标表达式的结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 第一步：求导全家桶。一阶导看单调性，二阶导看导函数的单调性。
• 第二步：构造函数。看到 $f(x)+f^{\prime }(x)\cdot \Delta x$ 结构，考虑构造切线相关函数。
• 第三步：零点估计。学会利用单调性锁定零点范围，并利用函数值的差值（或商）进行不等式转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2003-上海卷理-10
• 全国卷II理-21 解-导数综合
• 2018-天津卷理-20 解-导数几何意义