2018-天津卷理-20 解-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的运算与几何意义。核心在于构造函数法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知函数 $f(x)=a^x$，$g(x)={\log }_{a}x$，其中 $a>1$.

（I）求函数 $h(x)=f(x)-x\ln a$ 的单调区间；

（II）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_1,f(x_1))$ 处的切线与曲线 $y=g(x)$ 在点 $(x_2,g(x_2))$ 处的切线平行，证明 $x_1+g(x_2)=-\frac{2\ln \ln a}{\ln a}$；

（III）证明：当 $a\ge e^{1/e}$ 时，存在直线 $l$，使 $l$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线，也是曲线 $y=g(x)$ 的切线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：单调区间：求导 $h^{\prime }(x)$，令其等于 0 找到驻点，分析导数符号。
2. 第二问：平行切线关系：

• 求出 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数。
• 根据“平行”意味着斜率相等列出等式：$a^{x_1}\ln a=\frac{1}{x_2\ln a}$。
• 对等式两边取对数进行化简，整理出待证表达式。

3. 第三问：公切线存在性证明：

• 设出切线方程：分别写出两个函数的切线 $l_1$ 和 $l_2$。
• 建立方程组：若 $l_1$ 和 $l_2$ 重合，则斜率和截距必须分别相等。
• 构造函数：通过代换消元，将问题转化为证明关于 $x_1$ 的方程 $u(x_1)=0$ 在特定范围内有实根。
• 利用极值与零点定理：分析构造函数 $u(x)$ 的单调性，求出最大值并证明其大于等于 0，再寻找一点使函数值小于 0，从而根据连续性判定零点存在。

✅【答案】

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(1) $h(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增

(2) 证明见解析

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

解：（I） $h(x)=a^x-x\ln a$，求导得： $h^{\prime }(x)=a^x\ln a-\ln a=(\ln a)(a^x-1)$ 因为 $a>1$，所以 $\ln a>0$。

• 令 $h^{\prime }(x)>0$，得 $a^x>1⟹x>0$；
• 令 $h^{\prime }(x)<0$，得 $a^x<1⟹x<0$。 所以，$h(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty ,0)$，单调递增区间为 $(0,+\infty )$。

（II）证明： $f^{\prime }(x)=a^x\ln a$，$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}$。 依题意，两切线平行，则斜率相等： $a^{x_1}\ln a=\frac{1}{x_2\ln a}⟹x_2{a}^{x_1}(\ln a{)}^2=1$ 两边取以 $a$ 为底的对数： ${\log }_a[x_2{a}^{x_1}(\ln a{)}^2]={\log }_{a}1=0$ ${\log }_a{x}_2+x_1+2{\log }_a\ln a=0$ 因为 $g(x_2)={\log }_a{x}_2$，且 ${\log }_a\ln a=\frac{\ln \ln a}{\ln a}$， 代入整理得：$x_1+g(x_2)=-\frac{2\ln \ln a}{\ln a}$。证毕。

（III）证明： 设 $l_1$ 为 $y=f(x)$ 在 $(x_1,a^{x_1})$ 处的切线：$y-a^{x_1}=a^{x_1}\ln a(x-x_1)$。 设 $l_2$ 为 $y=g(x)$ 在 $(x_2,{\log }_a{x}_2)$ 处的切线：$y-{\log }_a{x}_2=\frac{1}{x_2\ln a}(x-x_2)$。 若 $l_1,l_2$ 重合，则： $\{\begin{array}{l}{a}^{x_1}\ln a=\frac{1}{x_2\ln a}\text{—— (1)}\\ a^{x_1}-x_1{a}^{x_1}\ln a={\log }_a{x}_2-\frac{1}{\ln a}\text{—— (2)}\end{array}$ 由①得 $x_2=\frac{1}{a^{x_1}(\ln a{)}^2}$，代入②得： $a^{x_1}-x_1{a}^{x_1}\ln a={\log }_a\left[\frac{1}{a^{x_1}(\ln a{)}^2}\right]-\frac{1}{\ln a}$ 化简右边：$-x_1-2{\log }_a\ln a-\frac{1}{\ln a}$。 移项构造函数 $u(x)=a^x-x{a}^x\ln a+x+\frac{1}{\ln a}+\frac{2\ln \ln a}{\ln a}$。 只需证明当 $a\ge e^{1/e}$ 时，$u(x)$ 存在零点。 求导：$u^{\prime }(x)=a^x\ln a-(a^x\ln a+x{a}^x(\ln a{)}^2)+1=1-x{a}^x(\ln a{)}^2$。 由 $u^{\prime }(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递减且 $u^{\prime }(0)=1>0,u^{\prime }(+\infty )<0$ 知，存在唯一极大值点 $x_0$ 满足 $x_0{a}^{x_0}(\ln a{)}^2=1$。 此时 $u(x_0)=\frac{1}{x_0(\ln a{)}^2}-\frac{1}{\ln a}+x_0+\frac{1}{\ln a}+\frac{2\ln \ln a}{\ln a}=\frac{1}{x_0(\ln a{)}^2}+x_0+\frac{2\ln \ln a}{\ln a}$。 利用均值不等式及 $a\ge e^{1/e}⟹\ln \ln a\ge -1$： $u(x_0)\ge \frac{2}{\ln a}+\frac{2\ln \ln a}{\ln a}=\frac{2(1+\ln \ln a)}{\ln a}\ge 0$。 又当 $x\to +\infty$ 时，$u(x)\to -\infty$（由于 $-x{a}^x$ 项占主导）。 根据连续函数零点存在性定理，必存在 $x_1$ 使得 $u(x_1)=0$。 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公切线问题的本质：转化为方程组有解问题。通常斜率相等是一个方程，截距相等是另一个方程。

2. 构造函数的技巧：在压轴题中，通常需要通过“求导 $\to$ 找单调性 $\to$ 找极大值 $\to$ 判断最值符号”这一套标准流程来证明零点存在。

3. 反函数对称性：注意 $a^x$ 与 ${\log }_{a}x$ 关于 $y=x$ 对称。当 $a$ 较小时，两图象可能相交，此时存在多条公切线。当 $a$ 较大时，证明公切线的存在性需要更严谨的代数逼近。

🚀 【总结】 至此，2018年天津理科卷的所有核心大题已录入完毕。如果需要针对某一道题进行深度变式练习或知识点总结，请随时告诉我！

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷理-19
• 2021-新高考II卷-21 解-概率综合
• 2003-上海卷理-10