2019-江苏卷-10 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$P$ 是曲线 $y=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 上的一个动点，则点 $P$ 到直线 $x+y=0$ 的距离的最小值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 几何转化：点 $P$ 到直线 $l:x+y=0$ 的距离最小，当且仅当曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $l$ 平行（且不与曲线相交于两点间）。

2. 确定切点斜率：已知直线 $x+y=0$ 的斜率 $k=-1$，故需寻找曲线上导数 $f^{\prime }(x)=-1$ 的点。

3. 求切点坐标：求导 $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$，令其等于 $-1$ 解出 $x$（结合 $x>0$），进而求出 $y$。

4. 计算距离：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 计算切点到直线的距离。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $4$

【解析过程】

设曲线 $f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$。

对 $f(x)$ 求导得：

$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}$

由于直线 $x+y=0$ 的斜率为 $-1$，令 $f^{\prime }(x)=-1$：

$1-\frac{4}{x^2}=-1⟹\frac{4}{x^2}=2⟹x^2=2$

因为 $x>0$，所以 $x=\sqrt{2}$。

将 $x=\sqrt{2}$ 代入原曲线方程得：

$y=\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

此时切点 $P(\sqrt{2},3\sqrt{2})$。

点 $P$ 到直线 $x+y=0$ 的距离 $d$ 为：

$d=\frac{|\sqrt{2}+3\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4$

由于曲线 $y=x+\frac{4}{x}$ 在 $x>0$ 时是下凸的（对勾函数），该距离即为最小值。

故填：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 平移切线法的通用性：求“曲线上的点到直线距离的最值”通常采用平移直线直至与曲线相切的方法。切点即为最值点。

2. 隐含条件检查：本题限定 $x>0$，这是为了保证切点在双曲线的一支上。如果在全定义域内，可能需要讨论不同分支的情况。

3. 公式熟练度：点到直线的距离公式中，分母是系数平方和的根号，分子是坐标代入方程后的绝对值，需确保记忆准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以尝试另一种思路：

点 $P(x,x+\frac{4}{x})$ 到直线 $x+y=0$ 的距离为：

$d=\frac{|x+(x+\frac{4}{x})|}{\sqrt{2}}=\frac{|2x+\frac{4}{x}|}{\sqrt{2}}$

因为 $x>0$，利用均值不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$：

$2x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{2x\cdot \frac{4}{x}}=2\sqrt{8}=4\sqrt{2}$

当且仅当 $2x=\frac{4}{x}⟹x=\sqrt{2}$ 时等号成立。

则 $d_{min}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4$。

这种方法在目标函数结构简单时（如本题）比导数法更简洁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性