2015-江苏卷-10 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆相切的性质。核心在于识别动直线族经过的定点，并利用几何直观将半径最大值转化为圆心到定点的距离。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以点 $(1,0)$ 为圆心且与直线 $mx-y-2m-1=0$ ($m\in \mathbb{R}$) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析动直线：将直线方程整理为关于参数 $m$ 的形式 $m(x-2)-(y+1)=0$，寻找直线族经过的定点 $P$。
2. 切线性质：圆与直线相切，则圆心 $C(1,0)$ 到直线的距离 $d$ 等于半径 $r$。
3. 几何转化：直线绕定点 $P$ 旋转，圆心 $C$ 到直线的距离 $d$ 满足 $d\le |CP|$。当直线与 $CP$ 垂直时，$d$ 取得最大值。
4. 确定方程：求出最大半径 $r_{max}=|CP|$，代入圆的标准方程公式。

✅【答案】

点击查看答案

$(x-1{)}^2+y^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求直线所经过的定点 将直线方程 $mx-y-2m-1=0$ 变形为： $m(x-2)-(y+1)=0$ 令 $\{\begin{array}{l}x-2=0\\ y+1=0\end{array}$，解得 $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}$。 说明无论 $m$ 取何值，直线恒过定点 $P(2,-1)$。

第二步：分析半径的最大值 设圆心为 $C(1,0)$。由于圆与直线相切，半径 $r$ 等于点 $C$ 到直线的距离。 根据几何性质，点到过定点的动直线的距离不大于该点到定点的距离。 即 $r\le |CP|$。 计算 $|CP|$： $|CP|=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-0{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ 所以半径的最大值 $r_{max}=\sqrt{2}$。此时 $r^2=2$。

第三步：写出圆的方程 圆心为 $(1,0)$，半径平方为 $2$。 标准方程为： $(x-1{)}^2+y^2=2$

答案：$(x-1{)}^2+y^2=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线恒过定点的判定；圆心到直线的距离公式；点到直线距离的最值几何意义。
• 核心方法：定点分析法。看到含参直线方程，第一反应应是寻找其定点。本题若使用函数法（如解析图中利用 $m$ 的函数式求最值）计算量较大且易出错，几何法更为简洁。
• 避坑指南：题目要求的是“标准方程”，不要写成一般方程或漏掉平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 点 $A$ 到过定点 $B$ 的直线 $l$ 的距离最大值为 $|AB|$，此时 $l\perp AB$。 *方法推广: 涉及动直线与圆的位置关系，优先考虑“圆心到直线的距离”与“定点几何背景”的结合。

• 相关知识点：圆的一般方程、直线系方程、柯西不等式求最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2019-江苏卷-10 填-导数几何意义
• 2003-江苏卷-10
• 2015-江苏卷-13 填-函数零点