2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式。核心在于构造法、变量叠加法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） （选修4-5：不等式选讲）24. 设 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$.证明：

(1)$ab+bc+ca\le \frac{1}{3}$；

(2)$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（$ab+bc+ca$ 的范围）：
   • 核心公式：$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$。
   • 利用基本不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$，$b^2+c^2\ge 2bc$，$c^2+a^2\ge 2ca$，可得 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$。
   • 将此不等式代入完全平方展开式，即可建立 $1$ 与 $ab+bc+ca$ 的关系。
2. 第二问（分式不等式证明）：
   • 核心策略：“配对消元”。观察待证式左边的分式，其分母分别为 $b,c,a$。
   • 利用基本不等式 $\frac{x^2}{y}+y\ge 2x$：
     • $\frac{a^2}{b}+b\ge 2a$
     • $\frac{b^2}{c}+c\ge 2b$
     • $\frac{c^2}{a}+a\ge 2c$
   • 将三个不等式相加，利用 $a+b+c=1$ 即可完成证明。

✅【答案】

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$ab+bc+ca\le \frac{1}{3}$；$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 1$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 因为 $a^2+b^2\ge 2ab$，$b^2+c^2\ge 2bc$，$c^2+a^2\ge 2ca$， 三式相加得：$2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)$， 即 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$。

又因为 $a+b+c=1$，两边平方得： $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1$。

由前面推导的 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ 代入上式得： $(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)\le 1$ $3(ab+bc+ca)\le 1$ 即 $ab+bc+ca\le \frac{1}{3}$。 当且仅当 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 时，等号成立。

（Ⅱ）证明： 因为 $a,b,c$ 均为正数，由基本不等式得： $\frac{a^2}{b}+b\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{b}\cdot b}=2a$ $\frac{b^2}{c}+c\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{c}\cdot c}=2b$ $\frac{c^2}{a}+a\ge 2\sqrt{\frac{c^2}{a}\cdot a}=2c$

将上述三个不等式左右两边分别相加得： $(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})+(a+b+c)\ge 2(a+b+c)$ 整理得： $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c$

已知 $a+b+c=1$， 所以 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 1$。 当且仅当 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 时，等号成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式及其链式应用；完全平方和与两两乘积和的数量关系。

核心方法：“凑项法”。在证明分式不等式时，寻找分母对应的项进行相加凑出线性项，是化简分式的常用技巧。

避坑指南：证明过程中需时刻关注等号成立的条件是否一致。本题两问均在 $a=b=c=1/3$ 时取等，逻辑自洽。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：柯西不等式、排序不等式、权方和不等式。

结论推广：对于 $\sum \frac{x_i^2}{y_i}$ 型的不等式，通法是利用柯西不等式的分式形式（安德烈夫不等式）：$\sum \frac{a_i^2}{b_i}\ge \frac{(\sum a_i{)}^2}{\sum b_i}$。

方法推广：面对对称型不等式，若变量之和为定值，通常考虑将复杂项放缩为线性项的和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2026-天津卷-07 单-基本不等式
• 2026-上海卷-07 填-基本不等式
• 2025-北京卷-06 单-基本不等式