2019-江苏卷-24 解-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的展开式。核心在于方程思想、构造共轭式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）设 $(1+x{)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n,n\ge 4,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。已知 $a_3^2=2a_2{a}_4$。

(1)求 $n$ 的值；

(2)设 $(1+\sqrt{3}{)}^n=a+b\sqrt{3}$，其中 $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，求 $a^2-3b^2$ 的值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求 n）：

• 根据二项式定理，$(1+x{)}^n$ 展开式的系数 $a_k=C_n^k$。
• 将 $a_2,a_3,a_4$ 用组合数公式展开为关于 $n$ 的分式。
• 代入已知等式 $a_3^2=2a_2{a}_4$，约简后解出 $n$。

2. 第二问（代数求值）：

• 常规法：利用 $n=5$ 直接展开 $(1+\sqrt{3}{)}^5$，分离出有理部分 $a$ 和无理部分的系数 $b$，再代入计算。
• 技巧法（共轭法）：注意到 $(1+\sqrt{3}{)}^5=a+b\sqrt{3}$，由于二项式展开中 $\sqrt{3}$ 的奇数次幂符号在 $(1-\sqrt{3}{)}^5$ 中会变号，故 $(1-\sqrt{3}{)}^5=a-b\sqrt{3}$。
• 利用 $a^2-3b^2=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=[(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}){]}^5$ 快速求解。

✅【答案】

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(1)$n=5$。

(2)$a^2-3b^2=-32$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由二项式定理知，$a_k=C_n^k$。 则 $a_2=\frac{n(n-1)}{2}$，$a_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$，$a_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$。 代入 $a_3^2=2a_2{a}_4$ 得： ${\left[\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\right]}^2=2\cdot \frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ 由于 $n\ge 4$，等式两边同时约去 $\frac{n^2(n-1{)}^2(n-2)}{12}$ 得： $\frac{n-2}{3}=\frac{n-3}{2}$ $2(n-2)=3(n-3)$ $2n-4=3n-9⟹n=5$ 所以 $n$ 的值为 $5$。

(2)解（推荐技巧法）： 由(1)知 $n=5$，则 $(1+\sqrt{3}{)}^5=a+b\sqrt{3}$。 根据二项式展开式： $(1+\sqrt{3}{)}^5=C_5^0+C_5^1\sqrt{3}+C_5^2(\sqrt{3}{)}^2+C_5^3(\sqrt{3}{)}^3+C_5^4(\sqrt{3}{)}^4+C_5^5(\sqrt{3}{)}^5$ 分离有理项与无理项得： $a=C_5^0+3C_5^2+9C_5^4$ $b\sqrt{3}=(C_5^1+3C_5^3+9C_5^5)\sqrt{3}$ 考虑其共轭式： $(1-\sqrt{3}{)}^5=C_5^0-C_5^1\sqrt{3}+C_5^2(\sqrt{3}{)}^2-C_5^3(\sqrt{3}{)}^3+C_5^4(\sqrt{3}{)}^4-C_5^5(\sqrt{3}{)}^5=a-b\sqrt{3}$ 因此： $a^2-3b^2=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})$ $a^2-3b^2=(1+\sqrt{3}{)}^5(1-\sqrt{3}{)}^5$ $a^2-3b^2=[(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}){]}^5$ $a^2-3b^2=(1-3{)}^5=(-2{)}^5=-32$ 所以 $a^2-3b^2$ 的值为 $-32$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 组合数的计算：在处理二项式系数等式时，灵活约去共同因式（如 $n,n-1$ 等）能极大简化方程。
2. 共轭构造的威力：在处理形如 $(m+\sqrt{n}{)}^k$ 的有理化相关问题时，构造其共轭式 $(m-\sqrt{n}{)}^k$ 往往能利用平方差公式将无理数消去，这是竞赛和高考高阶运算中的常用技巧。
3. 定义域检查：第一问求出 $n$ 后应检查是否满足 $n\ge 4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下公式： 若 $(m+\sqrt{n}{)}^k=a+b\sqrt{n}$，则：

• $a=\frac{(m+\sqrt{n}{)}^k+(m-\sqrt{n}{)}^k}{2}$ （展开式中的偶数项/有理部分）
• $b\sqrt{n}=\frac{(m+\sqrt{n}{)}^k-(m-\sqrt{n}{)}^k}{2}$ （展开式中的奇数项/无理部分）
• 这种结构在解决数列递推（如斐波那契数列通项）或数论问题（如 Pell 方程）时非常重要。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-11 填-二项式通项
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 1977-江苏卷-01(7)