2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差

本题导读

本题考查茎叶图，以及方差。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 $x$ 表示： 则 7 个剩余分数的方差为()

A. $\frac{116}{9}$　　　　　　B. $\frac{36}{7}$　　　　　　C. $36$　　　　　　D. $6\sqrt{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 茎 8 叶 $7,7$；茎 9 叶 $4,0,1,0,x,9,1$：数据 $87,87,94,90,91,90,9x,99,91$。
2. 去掉最高 $99$、最低 $87$，剩余 $87,90,90,91,91,94,90+x$，和为 $637$ → $x=4$。
3. 方差 $=\frac{(87-91{)}^2+(90-91{)}^2+(90-91{)}^2+(91-91{)}^2+(91-91{)}^2+(94-91{)}^2+(94-91{)}^2}{7}=\frac{36}{7}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由茎叶图，9 个得分为 $87,87,94,90,91,90,90+x,99,91.$ 去掉一个最高分 $99$、一个最低分 $87$，剩余 7 个分数为 $87,90,90,91,91,94,90+x.$ 由平均分为 $91$： $87+90+90+91+91+94+(90+x)=91\times 7=637,$ 即 $633+x=637$，解得 $x=4$。 所以剩余数据为 $87,90,90,91,91,94,94$，方差 $s^2=\frac{(87-91{)}^2+(90-91{)}^2+(90-91{)}^2+(91-91{)}^2+(91-91{)}^2+(94-91{)}^2+(94-91{)}^2}{7}$ $=\frac{16+1+1+0+0+9+9}{7}=\frac{36}{7}.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：茎叶图与方差

核心方法：茎 8：叶 $7,7$；茎 9：叶 $4,0,1,0,x,9,1$ → 9 个分数 $87,87,94,90,91,90,9x,99,91$；去掉最高 $99$、最低 $87$，由 $91\times 7=637$ 定 $x=4$，方差 $\frac{36}{7}$

避坑指南：先按茎叶图还原 9 个原始数据再谈去掉：剩余 7 个数为 $87,90,90,91,91,94,94$，方差 $=\frac{(87-91{)}^2+(94-91{)}^2+(90-91{)}^2\times 2+(91-91{)}^2\times 2+(94-91{)}^2}{7}$——分母是 $7$ 不是 $9$，也别把去掉的 $99$ 算进去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：茎叶图读数与方差计算（山东卷统计常考）。

结论推广：方差 $s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$；由平均数定模糊叶：$7\bar{x}=\text{剩余数据和}$。

方法推广：茎叶图统计题三步：还原数据 → 按题意去掉最高最低 → 由平均数定未知数，再套方差公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-18 解-茎叶图与平均数
• 2014-新课标II卷文-19 解-茎叶图