2019-浙江卷-06 单-指数函数

本题导读

本题考查指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）在同一直角坐标系中，函数 $y=\frac{1}{a^x}$，$y={\log }_a\left(x+\frac{1}{2}\right)$ ($a>0$ 且 $a\ne 1$) 的图象可能是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简指数型函数：遇到 $y=\frac{1}{a^x}$，第一反应应将其化为标准指数函数形式 $y=a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$。注意它的底数是 $\frac{1}{a}$，这意味着它的单调性与底数为 $a$ 的对数函数恰好相反！

2. 寻找“定点”锚泊：

• 指数型：$y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$，当 $x=0$ 时，$y=1$，恒过定点 $(0,1)$。

• 对数型：$y={\log }_a\left(x+\frac{1}{2}\right)$，令真数 $x+\frac{1}{2}=1$，得 $x=\frac{1}{2}$，此时 $y=0$，恒过定点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$。同时真数 $>0$，有垂直渐近线 $x=-\frac{1}{2}$。

3. 分类讨论底数 $a$：

• 当 $a>1$ 时，分别判断两者的单调性。

• 当 $0<a<1$ 时，分别判断两者的单调性。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

将第一个函数变形为标准底数形式：$y=\frac{1}{a^x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$。

它恒过定点 $(0,1)$。

第二个函数 $y={\log }_a\left(x+\frac{1}{2}\right)$，其定义域为 $x>-\frac{1}{2}$，恒过定点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$。

我们需要对参数 $a$ 进行分类讨论：

情况一：当 $0<a<1$ 时

• 对于对数函数 $y={\log }_a\left(x+\frac{1}{2}\right)$，因为底数 $a\in (0,1)$，所以它在定义域上单调递减。

• 对于指数函数 $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$，因为 $0<a<1$，所以底数 $\frac{1}{a}>1$。因此，它在定义域上单调递增。

• 图象特征组合：一个过 $(0,1)$ 且递增的指数曲线，与一个过 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 且递减的对数曲线。这与原卷中的 D 选项完全吻合。

情况二：当 $a>1$ 时

• 对于对数函数 $y={\log }_a\left(x+\frac{1}{2}\right)$，因为底数 $a>1$，所以它在定义域上单调递增。

• 对于指数函数 $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$，因为 $a>1$，所以底数 $0<\frac{1}{a}<1$。因此，它在定义域上单调递减。

• 图象特征组合：一个过 $(0,1)$ 且递减的指数曲线，与一个过 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 且递增的对数曲线。经检查，题目给出的四个选项中均没有这种组合。

综上所述，唯一可能的图象组合存在于 $0<a<1$ 的情况中，对应选项 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 底数倒数导致单调性反转：这是本题出题人最大的陷阱！很多同学一看到 $a^x$ 和 ${\log }_{a}x$ 就惯性以为它们的单调性应该是一致的（同增或同减）。但题目巧妙地给了一个倒数 $\frac{1}{a^x}$，瞬间破坏了这种一致性，变成了“你增我就减”。

2. 定点的平移：对数函数 $y={\log }_{a}x$ 恒过 $(1,0)$，当里面变成 $x+\frac{1}{2}$ 时，图象整体向左平移了 $\frac{1}{2}$ 个单位，所以定点跟着平移到了 $\left(\frac{1}{2},0\right)$。定点往往是排除错误选项最快的刀。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，遇到复杂的函数图象识别问题，请严格按照以下优先级进行“安检”扫描：

1. 定义域优先（看渐近线和奇偶性）：

• 有没有分母为 0 的点？有没有对数真数为负的情况？

• 函数是不是偶函数（关于 $y$ 轴对称）或奇函数（关于原点对称）？

2. 找“定点”或“特殊点”（代入极值点）：

• 找 $x=0,1,-1$ 时 $y$ 的值。

• 找 $y=0$ 时 $x$ 的截距。

3. 看单调性与极值（借助导数）：

• 函数是全区间单调，还是有峰有谷？

4. 看极限趋势（取极限）：

• 当 $x\to +\infty$ 或 $x\to -\infty$ 时，$y$ 会趋向于 0 还是趋向于无穷大？（例如 $x{e}^{-x}$ 趋于 0，而 $e^x/x$ 趋于无穷）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-10 单-指数函数的图象与性质

• 2005-福建卷理-05 单-指数函数的图象与性质

• 2007-四川卷理-02 单-指数函数图象性质