2007-四川卷理-02 单-指数函数图象性质

本题导读

本题考查对数函数与指数函数图象的识别。通过求解函数的特征定点、横纵截距以及单调性，利用排除法在直角坐标系中快速锁定正确图象。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 函数 $f(x)=1+{\log }_{2}x$ 与 $g(x)=2^{-x+1}$ 在同一直角坐标系下的图象大致是()

🔍【思路分析】

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1. 分析单调性与截距：判定两函数的增减趋势，并求出图象与坐标轴的交点。

2. 锁定公共点：寻找两函数图象的交点，结合坐标系网格的特定位置进行比对排除。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析函数 $f(x)=1+{\log }_{2}x$：

• 定义域为 $(0,+\infty )$，在定义域内单调递增．

• 令 $f(x)=0⟹1+{\log }_{2}x=0⟹{\log }_{2}x=-1⟹x=\frac{1}{2}$，即其与 $x$ 轴的交点为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$．

• 当 $x=1$ 时，$f(1)=1+{\log }_{2}1=1$．

2. 分析函数 $g(x)=2^{-x+1}$：

• 可以变形为 $g(x)=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x$，在 $\mathbf{R}$ 上单调递减．

• 令 $x=0⟹g(0)=2^1=2$，即其与 $y$ 轴的交点为 $(0,2)$．

• 当 $x=1$ 时，$g(1)=2^0=1$．

3. 综合判定：

• 两函数图象交于点 $(1,1)$．

• 观察各选项：$g(x)$ 的 $y$ 轴截距为 2，排除 B（B 中减函数截距约为 1.4，不符）；

• $f(x)=1+{\log }_{2}x$ 在 $x\to 0^{+}$ 时趋于 $-\infty$，其图象紧邻 $y$ 轴（竖直渐近线为 $x=0$）；A 图将 $f$ 的渐近线画在了 $x=1$ 处，不符，排除 A；

• 综上，只有 C 图同时满足：$g$ 的 $y$ 轴截距为 2、$f$ 紧贴 $y$ 轴，且两图交于 $(1,1)$。 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数与指数函数的单调性，函数图象的平移变换与特殊点坐标。

2. 核心方法：定点/截距控制排除法。

3. 避坑指南：容易盲目定性看趋势而忽略定量点的精准度，必须通过计算 $x=1$ 时的函数值来精确区分 A 和 C 中交点位置的微弱差异。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中关于基本初等函数图象性质的对比解析，通过引入简单的常数平移考查识图与数形结合素养。

5. 结论推广：对于互为逆运算趋势的复合函数系 $f(x)=k+{\log }_{a}x$ 与 $g(x)=a^{-x+k}$，由于满足 $f(1)=k,g(k)=1$ 且 $f(a^{1-k})=1,g(1)=1$，在特定参数配对时常具有特殊的交点对称结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-06 单-椭圆定义与性质