2020-上海卷-03 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的模，以及复数的代数形式。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知复数 $z=1-2i$（$i$ 为虚数单位），则 |z| =$$\underline{\hspace{2em}}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别实部与虚部：对于复数 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbb{R}$），其实部 $a=1$，虚部 $b=-2$。

2. 套用公式：复数的模 $|z|$ 定义为从原点到复平面上对应点 $(a,b)$ 的距离，即 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $z=1-2i$，

其中实部 $a=1$，虚部 $b=-2$。

根据复数模的定义：

$|z|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}$

$=\sqrt{1+4}$

$=\sqrt{5}$。

最终答案为：$\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式记忆：注意虚部 $b$ 是 $i$ 的系数，不包含 $i$ 且计算时需带符号（虽然平方后符号不影响结果，但定义要清晰）。

2. 计算细节：避免出现 $\sqrt{1^2-2^2}$ 这种符号代入错误。

3. 上海卷特色：前三题通常涵盖集合、极限、复数概念，是必须快速准确拿下的分值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:

• 共轭复数的模相等：$|z|=|\bar{z}|$。

• 积的模等于模的积：$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$。

• 方法的推广:

• 模的计算本质上是欧几里得距离。在处理含有参数的复数最值问题时，常利用 $|z|\ge |\text{Re}(z)|$ 或三角形不等式进行放缩。

• 相关知识点:

• 复数的几何意义：$|z|$ 表示复平面上点 $Z(1,-2)$ 到坐标原点 $O(0,0)$ 的距离。

• 向量关系：复数 $z$ 对应的向量 $\overrightarrow{OZ}=(1,-2)$，复数的模即为该向量的长度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模

• 1990-全国卷理-24 解-复数方程的分类讨论

• 2005-上海卷理-18 解-复数的代数形式及运算