2020-上海卷-18 解-函数值域

本题导读

本题考查三角函数的周期公式。核心在于公式转化法、整体换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知函数 $f(x)=\sin \omega x$，$\omega >0$。

（1）$f(x)$ 的周期是 $4\pi$，求 $\omega$，并求 $f(x)=\frac{1}{2}$ 的解集；

（2）已知 $\omega =1$，$g(x)=f^2(x)+\sqrt{3}f(-x)f(\frac{\pi }{2}-x)$，$x\in [0,\frac{\pi }{4}]$，求 $g(x)$ 的值域。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求出 $\omega$。解方程 $\sin \omega x=\frac{1}{2}$ 时注意解集的规范表达（含 $2k\pi$）。
2. 第二问：首先进行恒等变换简化 $g(x)$。

• $f(-x)=\sin (-x)=-\sin x$。
• $f(\frac{\pi }{2}-x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$。
• 利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 和倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 将其统一为单角形式。

✅【答案】

点击查看答案

$[-\frac{1}{2},0]$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求 $\omega$ 及解集 由 $T=\frac{2\pi }{\omega }=4\pi$，解得 $\omega =\frac{1}{2}$。 由 $f(x)=\sin \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$，得： $\frac{1}{2}x=2k\pi +\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{1}{2}x=2k\pi +\frac{5\pi }{6}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 解得 $x=4k\pi +\frac{\pi }{3}$ 或 $x=4k\pi +\frac{5\pi }{3}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 故解集为 $\{x|x=4k\pi +\frac{\pi }{3}\text{ 或 }x=4k\pi +\frac{5\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\}$。

（Ⅱ）求 $g(x)$ 的值域 当 $\omega =1$ 时，$f(x)=\sin x$。 $g(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin (-x)\sin (\frac{\pi }{2}-x)$ $={\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin x\cos x$ $=\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ $=\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x)$ $=\frac{1}{2}-\sin (2x+\frac{\pi }{6})$。 因为 $x\in [0,\frac{\pi }{4}]$，所以 $2x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}]$。 在此区间内，正弦函数 $\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 的取值范围：

• 最小值：在端点处，$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。
• 最大值：在 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin \frac{\pi }{2}=1$。 故 $\sin (2x+\frac{\pi }{6})\in [\frac{1}{2},1]$。 则 $g(x)=\frac{1}{2}-\sin (2x+\frac{\pi }{6})\in [\frac{1}{2}-1,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}]=[-\frac{1}{2},0]$。 所以 $g(x)$ 的值域为 $[-\frac{1}{2},0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 诱导公式要熟：$\sin (-x)$ 与 $\sin (\frac{\pi }{2}-x)$ 的转化是化简的第一步，符号错误将导致全盘皆输。
2. 整体换元法：在求闭区间值域时，务必先确定“整体角”（如 $2x+\frac{\pi }{6}$）的范围，再观察正弦曲线的增减性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 形式如 $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$ 的函数均可利用降幂和辅助角公式化为 $A\sin (2x+\varphi )+B$ 的形式。
• 相关知识点:
  • 辅助角公式：$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$，其中 $\tan \varphi =b/a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-15 解-三角降幂与值域
• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期