2009-江西卷文-04 单-三角函数周期

本题导读

考查周期。$f(x)=\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$，两段周期 $2\pi$ 与 $\pi$ 的最小公倍为 $2\pi$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 函数 $f(x)=(1+\sqrt{3}\tan x)\cos x$ 的最小正周期为 ()

A. $2\pi$　　　　　　　B. $\frac{3\pi }{2}$　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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1. $f(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x\cos x=\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。
2. $\cos x$ 的周期为 $2\pi$，$\sin 2x$ 的周期为 $\pi$。
3. 和函数的周期取两者最小公倍，为 $2\pi$（可验证 $\pi$ 不是周期：$f(x+\pi )=-\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\ne f(x)$）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=(1+\sqrt{3}\tan x)\cos x=\cos x+\sqrt{3}\sin x\cos x=\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。 $\cos x$ 的最小正周期为 $2\pi$，$\sin 2x$ 的最小正周期为 $\pi$， 故 $f(x)$ 的最小正周期为两者的最小公倍数 $2\pi$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与周期

核心方法：切化弦 + 二倍角，取周期的最小公倍

避坑指南：$f(x)=\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$：两项周期 $2\pi$ 与 $\pi$ 的最小公倍是 $2\pi$；可代入 $x+\pi$ 验证 $\pi$ 不是周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和函数的周期是各项周期的最小公倍数（若存在）。

结论推广：$\tan x$ 在 $\cos x\ne 0$ 处有意义，先化弦再讨论。

方法推广：$\sin x\cos x$ 用二倍角降幂成 $\frac{1}{2}\sin 2x$，周期减半。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数
• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质