2020-全国卷I文-15 填-导数切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程的求法。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）曲线 $y=\ln x+x+1$ 的一条切线的斜率为 $2$, 则该切线的方程为_____.

🔍【思路分析】

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1. 对函数求导，根据导数的几何意义，切线斜率等于切点处的导数值，令导数等于 2 求出切点横坐标 $x_0$.
2. 代入原函数求出切点纵坐标 $y_0$.
3. 利用点斜式写出切线方程。

✅【答案】

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$2x-y=0$（或 $y=2x$）

✍【详细解析】

Abstract

设函数 $f(x)=\ln x+x+1$，其定义域为 $(0,+\infty )$. 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+1$. 因为切线斜率为 2，所以令 $f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{x_0}+1=2$， 解得 $\frac{1}{x_0}=1⟹x_0=1$. 将 $x_0=1$ 代入原函数得纵坐标： $y_0=\ln 1+1+1=2$. 故切点坐标为 $(1,2)$. 由点斜式写出切线方程： $y-2=2(x-1)⟹y-2=2x-2⟹2x-y=0$ （或写为 $y=2x$）。 故答案为：$2x-y=0$（或 $y=2x$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义、切线方程。
2. 核心方法：先求导数解切点横坐标，再求纵坐标，最后写直线方程。
3. 避坑指南：求切线方程时注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考导数基础常考题型。
2. 结论推广：已知斜率求切线方程，核心是利用导数等于斜率确定切点位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线