2020-全国卷I文-17 解-概率期望

本题导读

本题考查频数与概率的估计。核心在于统计概率估计法、利润期望计算比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）某厂接受了一项加工业务, 加工出来的产品 (单位: 件) 按标准分为 $A,B,C,D$ 四个等级。加工业务约定: 对于 $A$ 级品、$B$ 级品、$C$ 级品, 厂家每件分别收取加工费 $90$ 元, $50$ 元, $20$ 元; 对于 $D$ 级品, 厂家每件要赔偿原料损失费 $50$ 元。该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务。甲分厂加工成本费为 $25$ 元/件, 乙分厂加工成本费为 $20$ 元/件。厂家为决定由哪个分厂承接加工业务, 在两个分厂各试加工了 $100$ 件这种产品, 并统计了这些产品的等级, 整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表：

等级	$A$	$B$	$C$	$D$
频数	$40$	$20$	$20$	$20$

乙分厂产品等级的频数分布表：

等级	$A$	$B$	$C$	$D$
频数	$28$	$17$	$34$	$21$

(1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 $A$ 级品的概率；

(2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的 $100$ 件产品的平均利润, 以平均利润为依据, 厂家应选哪个分厂承接加工业务?

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据频率估计概率的定义，分别用甲、乙两分厂 $A$ 级品的频数除以总频数 $100$。
2. 分别计算甲、乙两分厂每件产品的净利润（收入减去成本），再计算 100 件产品的总利润或平均利润，比较大小后做出决策。

✅【答案】

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选甲分厂承接加工业务

✍【详细解析】

Abstract

(1) 根据统计表格： 甲分厂试加工的 $100$ 件产品中，$A$ 级品的频数为 $40$， 故甲分厂加工出来的一件产品为 $A$ 级品的概率估计值为 $\frac{40}{100}=0.4$。 乙分厂试加工的 $100$ 件产品中，$A$ 级品的频数为 $28$， 故乙分厂加工出来的一件产品为 $A$ 级品的概率估计值为 $\frac{28}{100}=0.28$.

(2) 甲分厂的成本为 $25$ 元/件：

• $A$ 级品每件利润为 $90-25=65$ 元；
• $B$ 级品每件利润为 $50-25=25$ 元；
• $C$ 级品每件利润为 $20-25=-5$ 元；
• $D$ 级品每件利润（含赔偿）为 $-50-25=-75$ 元。 甲分厂 $100$ 件产品的总利润为： $40\times 65+20\times 25+20\times (-5)+20\times (-75)=2600+500-100-1500=1500$ 元。 甲分厂的平均利润为 $\frac{1500}{100}=15$ 元/件。

乙分厂的成本为 $20$ 元/件：

• $A$ 级品每件利润为 $90-20=70$ 元；
• $B$ 级品每件利润为 $50-20=30$ 元；
• $C$ 级品每件利润为 $20-20=0$ 元；
• $D$ 级品每件利润（含赔偿）为 $-50-20=-70$ 元。 乙分厂 $100$ 件产品的总利润为： $28\times 70+17\times 30+34\times 0+21\times (-70)=1960+510+0-1470=1000$ 元。 乙分厂的平均利润为 $\frac{1000}{100}=10$ 元/件。

因为甲分厂的平均利润（$15$ 元/件）大于乙分厂的平均利润（$10$ 元/件）， 所以厂家应选择甲分厂承接加工业务。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：统计概率估计、实际应用中的利润期望计算。
2. 核心方法：分别计算各等级下的单件净利润，再加权求平均利润。
3. 避坑指南：计算利润时切记将加工成本及 $D$ 级品的赔偿费用正确计入单件净利润中。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考统计与概率应用题的标准题型。
2. 结论推广：在企业决策类问题中，常通过样本平均利润或数学期望作为最优决策的依据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II理-18
• 2009-江西卷理-18
• 2012-新课标卷文-18 解-利润模型与频率估计