2012-新课标卷文-18 解-利润模型与频率估计

本题导读

本题考查分段函数模型。核心在于建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 某花店每天以每枝 $5$ 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 $10$ 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1) 若花店一天购进 $16$ 枝玫瑰花，求当天的利润 $y$（单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n\in \mathbf{N}$）的函数解析式；

(2) 花店记录了 $100$ 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

| 日需求量 $n$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ | $18$ | $19$ | $20$ | | 频数 | $10$ | $20$ | $16$ | $16$ | $15$ | $13$ | $10$ |

以 $100$ 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i) 假设花店在这 $100$ 天内每天购进 $17$ 枝玫瑰花，求这 $100$ 天的日利润（单位：元）的平均数； (ii) 若花店一天购进 $17$ 枝玫瑰花，以 $100$ 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 $75$ 元的概率.

🔍【思路分析】

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(1) $y=\{\begin{array}{ll}10n-80,& n⩽16,\\ 80,& n>16\end{array}$；(2) 日均利润 $76.4$ 元；不少于 $75$ 元的概率 $0.7$。

✅【答案】

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(1) $y=\{\begin{array}{ll}10n-80,& n⩽16,\\ 80,& n>16\end{array}$（$n\in \mathbf{N}$） (2)(i) $76.4$ 元 (ii) $0.7$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 购进 $16$ 枝、单价 $5$ 元，成本 $80$ 元。

当日需求量 $n⩽16$ 时购进的 $16$ 枝未全部售出，售出 $n$ 枝：$y=10n-80$；

当 $n>16$ 时购进的 $16$ 枝全部售出：$y=10\times 16-80=80$。

$y=\{\begin{array}{ll}10n-80,& n⩽16,\\ 80,& n>16\end{array}(n\in \mathbf{N})$

(2)(i) 需求 $n=14,15,16$ 时利润分别为 $55,65,75$ 元；$n⩾17$ 时为 $85$ 元。

平均利润 $=\frac{55\times 10+65\times 20+75\times 16+85\times 54}{100}=\frac{550+1300+1200+4590}{100}=76.4$（元）。

(2)(ii) 利润 $⩾75$ 元当且仅当日需求量 $n⩾16$（$n=16$ 时利润 $75$ 元，$n⩾17$ 时利润 $85$ 元，均不低于 $75$）。

$P=\frac{16+16+15+13+10}{100}=0.7$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数建模；以频率估计概率；互斥事件概率的加法

核心方法：“卖不完”与”卖得完”两段建模 → 频数加权平均 → 需求量阈值转概率求和

避坑指南：①阈值翻译：利润 $⩾75$ 对应 $n⩾16$（$n=16$ 时恰好 $75$ 元，含）；②平均数用频数加权，别用组中值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：购销分段函数与频率估计概率的应用题，与 2013 年北京卷文第 16 题（空气质量概率）同族，是全国卷统计应用题的范本。

结论推广：一般地，“购 $m$ 件、售价 $s$、成本 $c$“的利润函数：$y=sn-c$（$n<m$），$y=sm-c$（$n⩾m$）。

方法推广：利润建模题先写分段函数，再把利润阈值反解成需求量阈值，最后用频率求和或加权平均。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-16 解-空气质量概率
• 2013-天津卷文-15 解-古典概型与估计