2020-全国卷I文-18 解-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理与正弦定理。核心在于余弦定理方程法、三角恒等变换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$. 已知 $B=150^{\circ }$.

(1) 若 $a=\sqrt{3}c,b=2\sqrt{7}$, 求 $△ABC$ 的面积；

(2) 若 $\sin A+\sqrt{3}\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 求 $C$.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用余弦定理建立关于 $c$ 的方程求出 $c$，进而求出 $a$，再代入面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 计算。
2. 第(2)问：利用三角形内角和定理将 $A$ 用 $C$ 表示，代入已知等式，结合两角和差的正弦公式化简求解 $C$.

✅【答案】

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$C+30^{\circ }=45^{\circ }⟹C=15^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中，由余弦定理及 $B=150^{\circ }$ 得： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. 因为 $b=2\sqrt{7},a=\sqrt{3}c$，且 $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以 $(2\sqrt{7}{)}^2=(\sqrt{3}c{)}^2+c^2-2(\sqrt{3}c)c\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $28=3c^2+c^2+3c^2=7c^2$ 解得 $c^2=4⟹c=2$ （负值已舍去）. 则 $a=\sqrt{3}c=2\sqrt{3}$. $△ABC$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2\times \sin 150^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\sqrt{3}$.

(2) 在 $△ABC$ 中，因为 $B=150^{\circ }$，所以 $A+C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$，即 $A=30^{\circ }-C$. 因为 $0<C<30^{\circ }$， 由 $\sin A+\sqrt{3}\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 可得： $\sin (30^{\circ }-C)+\sqrt{3}\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin 30^{\circ }\cos C-\cos 30^{\circ }\sin C+\sqrt{3}\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}\cos C-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C+\sqrt{3}\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}\cos C+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 即 $\sin (C+30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 因为 $0<C<30^{\circ }$，所以 $30^{\circ }<C+30^{\circ }<60^{\circ }$. 因此 $C+30^{\circ }=45^{\circ }⟹C=15^{\circ }$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理、正弦定理、三角恒等变换。
2. 核心方法：利用三角形内角和进行角的代换，转化为单角三角函数方程。
3. 避坑指南：利用三角函数值求角时，必须结合角的取值范围（范围约束）精确确定角的终边。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形解答题的标准中档题。
2. 结论推广：形如 $\sin A+k\sin C$ 的条件，常通过三角形内角关系化为单三角函数求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形