2020-全国卷I文-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查参数方程与直角坐标方程的互化。核心在于消参法 (平方求和/开方求和)、代入消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）22. 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x={\cos }^{k}t\\ y={\sin }^{k}t\end{array}$ ($t$ 为参数)。以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $4\rho \cos \theta -16\rho \sin \theta +3=0$。

（1）当 $k=1$ 时，$C_1$ 是什么曲线？

（2）当 $k=4$ 时，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的直角坐标。

🔍【思路分析】

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（1）识别 $k=1$ 时的曲线： 直接利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ 消去参数，观察所得方程。

（2）求解公共点：

1. 转化 $C_1$： 当 $k=4$ 时，$x,y\ge 0$。观察到 $x=({\cos }^{2}t{)}^2$，$y=({\sin }^{2}t{)}^2$，故有 $\sqrt{x}={\cos }^{2}t$，$\sqrt{y}={\sin }^{2}t$。相加即可消参。
2. 转化 $C_2$： 利用极坐标转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$。
3. 联立求解： 将 $C_1$ 的根式方程转化为多项式方程，与 $C_2$ 联立。注意 $x,y$ 的取值范围约束。

✅【答案】

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公共点直角坐标 $(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $k=1$ 时 $C_1$ 的形状 当 $k=1$ 时，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\sin t\end{array}$。 利用 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$，得直角坐标方程： $x^2+y^2=1$ 故曲线 $C_1$ 是以坐标原点为圆心，1 为半径的圆。

（2）当 $k=4$ 时 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点

1. 转化 $C_1$ 的直角坐标方程： 当 $k=4$ 时，参数方程为 $\{\begin{array}{l}x={\cos }^{4}t\\ y={\sin }^{4}t\end{array}$。 由方程可知 $x\ge 0,y\ge 0$，且 $x\le 1,y\le 1$。 变形得：$\sqrt{x}={\cos }^{2}t$，$\sqrt{y}={\sin }^{2}t$。 两式相加得：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ —— ①

2. 转化 $C_2$ 的直角坐标方程： 将 $\rho \cos \theta =x,\rho \sin \theta =y$ 代入极坐标方程： $4x-16y+3=0$ —— ②

3. 联立求解： 由 ① 得 $\sqrt{y}=1-\sqrt{x}$，两边平方得 $y=(1-\sqrt{x}{)}^2=1+x-2\sqrt{x}$。 代入 ②： $4x-16(1+x-2\sqrt{x})+3=0$ $4x-16-16x+32\sqrt{x}+3=0$ $-12x+32\sqrt{x}-13=0$ 整理得：$12x-32\sqrt{x}+13=0$。 设 $u=\sqrt{x}(u\in [0,1])$，则 $12u^2-32u+13=0$。 利用求根公式：$u=\frac{32\pm \sqrt{32^2-4\times 12\times 13}}{24}=\frac{32\pm \sqrt{1024-624}}{24}=\frac{32\pm 20}{24}$。 解得 $u_1=\frac{52}{24}=\frac{13}{6}$（舍去，超过范围 1）； $u_2=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。 当 $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$ 时，$x=\frac{1}{4}$。 代入 ① 得 $\sqrt{y}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}⟹y=\frac{1}{4}$。

故 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的直角坐标为 $(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 消参技巧： 遇到 ${\sin }^{n}t$ 和 ${\cos }^{n}t$ 型参数方程，核心思想是湊出 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$。
• 范围意识： 在求公共点时，务必注意参数方程隐含的范围。例如 $k=4$ 时 $x,y$ 必须非负且不大于 1，这在舍弃多余根时至关重要。
• 方程化简： $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 表示的是一段位于第一象限的抛物线弧。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果 $k=2$，则曲线方程为 $x+y=1(x,y\ge 0)$，是一条线段。随着 $k$ 的增大，曲线会越来越向坐标轴方向“弯曲”。这类题目不仅考查计算，也考查对函数图像趋势的理解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷文-14 填-极坐标参数方程
• 2016-全国卷I文-23
• 2016-全国卷I理-23