2020-全国卷I理-15 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及a

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）15. 已知 $F$ 为双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点，$A$ 为 $C$ 的右顶点，$B$ 为 $C$ 上的点，且 $BF$ 垂直于 $x$ 轴。若 $AB$ 的斜率为 3，则 $C$ 的离心率为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定各点坐标：

• 右顶点 $A(a,0)$。

• 右焦点 $F(c,0)$。

• 因为 $BF\perp x$ 轴，所以点 $B$ 的横坐标为 $c$。将 $x=c$ 代入双曲线方程 $\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，求得 $y_B=\frac{b^2}{a}$（取第一象限点）。

2. 利用斜率建立方程： 利用 $A(a,0)$ 和 $B(c,\frac{b^2}{a})$ 的斜率公式： $k_{AB}=\frac{\frac{b^2}{a}-0}{c-a}=3$

3. 转化为离心率 $e$： 利用 $b^2=c^2-a^2$ 及 $e=\frac{c}{a}$，将方程化为关于 $e$ 的一元二次方程。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2

【解析过程】

1. 写出关键长度： 由双曲线几何性质可知，$|AF|=c-a$。 由于 $B$ 在双曲线上且 $BF\perp x$ 轴，则 $|BF|$ 为双曲线通径的一半，即 $|BF|=\frac{b^2}{a}$。

2. 建立斜率等式： 在直角三角形 $△ABF$ 中，斜率 $k_{AB}=\frac{|BF|}{|AF|}=3$（假设 $B$ 在第一象限）。 $\frac{\frac{b^2}{a}}{c-a}=3⟹\frac{b^2}{a(c-a)}=3$

3. 代数化简与求解： 将 $b^2=c^2-a^2$ 代入： $\frac{c^2-a^2}{a(c-a)}=3$ 由于 $c-a\ne 0$，约简得： $\frac{(c-a)(c+a)}{a(c-a)}=3⟹\frac{c+a}{a}=3$ 拆分分式： $\frac{c}{a}+1=3⟹e+1=3$ 解得 $e=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通径公式记忆： 椭圆和双曲线中，过焦点且垂直于长轴（实轴）的弦长均为 $\frac{2b^2}{a}$。
• 离心率求解技巧： 看到要求 $e$，第一反应应是构造 $a,b,c$ 的齐次式，然后全部除以 $a$。本题中 $\frac{c+a}{a}$ 直接出现了 $e+1$ 的结构，计算非常简便。
• 图形直观： 直角三角形 $△ABF$ 的对边与邻边之比即为斜率，这比直接代入坐标公式更具几何美感。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目条件改为“$△ABF$ 是等腰直角三角形”，则斜率为 1。 此时 $\frac{c+a}{a}=1⟹e+1=1⟹e=0$，这在双曲线中是不可能的（$e>1$），说明这种几何构型对斜率有一定的取值范围限制。7

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程