2020-全国卷I理-17 解-数列求和

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于待定系数法 (基本量法)、错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）17. 设 $\{a_n\}$ 是公比不为 1 的等比数列，$a_1$ 为 $a_2,a_3$ 的等差中项。

（1）求 $\{a_n\}$ 的公比；

（2）若 $a_1=1$，求数列 $\{n{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）求公比 $q$：

• 翻译条件：“$a_1$ 为 $a_2,a_3$ 的等差中项” $⟹2a_1=a_2+a_3$。

• 代入通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，消去 $a_1$ 得到关于 $q$ 的方程。

（2）错位相减法求和：

• 数列通项为 $b_n=n\cdot (-2{)}^{n-1}$。这是一个“等差数列 $\{n\}$”与“等比数列 $\{(-2{)}^{n-1}\}$”乘积构成的数列。

• 写出 $S_n$ 的表达式。

• 写出 $q{S}_n$（即 $-2S_n$）的表达式，将项整体后移一位。

• 两式相减，利用等比数列求和公式处理中间部分。

✅【答案】

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$q=-2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求公比 $q$

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。

由题意，$2a_1=a_2+a_3$。

代入等比数列关系：

$2a_1=a_{1}q+a_1{q}^2$

因为 $\{a_n\}$ 是等比数列，所以 $a_1\ne 0$，两边同除以 $a_1$ 得：

$q^2+q-2=0$

解得 $q=1$ 或 $q=-2$。

又已知公比不为 1，故 $q=-2$。

（2）求 $\{n{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$

当 $a_1=1,q=-2$ 时，$a_n=(-2{)}^{n-1}$。

则数列 $\{n{a}_n\}$ 的通项为 $b_n=n\cdot (-2{)}^{n-1}$。

$S_n=1\cdot (-2{)}^0+2\cdot (-2{)}^1+3\cdot (-2{)}^2+\cdots +n\cdot (-2{)}^{n-1}\text{—— (1)}$

将 ① 式两边同乘以公比 $q=-2$：

$-2S_n=1\cdot (-2{)}^1+2\cdot (-2{)}^2+\cdots +(n-1)\cdot (-2{)}^{n-1}+n\cdot (-2{)}^n\text{—— (2)}$

① - ② 得：

$3S_n=1\cdot (-2{)}^0+[(-2{)}^1+(-2{)}^2+\cdots +(-2{)}^{n-1}]-n\cdot (-2{)}^n$

中间方括号内为首项为 $-2$、公比为 $-2$、项数为 $n-1$ 的等比数列：

$3S_n=1+\frac{-2[1-(-2{)}^{n-1}]}{1-(-2)}-n\cdot (-2{)}^n$

$3S_n=1+\frac{-2+2(-2{)}^{n-1}}{3}-n\cdot (-2{)}^n$

$3S_n=1-\frac{2}{3}+\frac{(-2{)}^n}{3}-n\cdot (-2{)}^n$

$3S_n=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}-n\right)\cdot (-2{)}^n=\frac{1+(1-3n)(-2{)}^n}{3}$

所以：

$S_n=\frac{1-(3n-1)(-2{)}^n}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 等差中项： 若 $A,B,C$ 成等差数列，则 $2B=A+C$。注意谁是中项，本题中 $a_1$ 是中项，极易错写成 $2a_2=a_1+a_3$。

• 错位相减的计算： 1. 相减后的项数：中间部分共有 $n-1$ 项。

2. 符号问题：最后一项 $-n{q}^n$ 前面的负号是减法带来的，极易算错。

3. 合并同类项：最后的整理步骤建议代入 $n=1,2$ 进行验算。

• 通用公式： 对于 $S_n=\sum (An+B)q^{n-1}$，其结果必为 $\frac{(Cn+D)q^n+E}{F}$ 的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

错位相减法是高考数列求和的“常棵树”。在复习时，应重点练习公比为负数（如 $-1/2,-2$）或含字母 $q$ 的情况。此外，若第一问求出的公比含有 1 的可能性，必须进行分类讨论，否则第二问无法使用错位相减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

• 22.05 错位问题

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和

• 2021-天津卷-19 解-数列综合

• 2005-湖北卷理-15 填-等差中项的性质