2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于Sn化an、错位相减的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $a_1\ne 0$，$2a_n-a_1=S_1\cdot S_n$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)求 $a_1$，$a_2$，并求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)求数列 $\{n{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$n=1$：$a_1=a_1^2$，$a_1\ne 0$ → $a_1=1$。
2. $n=2$：$2a_2-1=1+a_2$ → $a_2=2$。
3. $n⩾2$：$2a_n-1=S_n$ 与 $2a_{n-1}-1=S_{n-1}$ 相减 → $a_n=2a_{n-1}$ → $a_n=2^{n-1}$。
4. （2）$B_n=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n\cdot 2^{n-1}$，错位相减： $-B_n=2^n-1-n\cdot 2^n$ → $B_n=1+(n-1)\cdot 2^n$。

✅【答案】

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(1)$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=2^{n-1}$；(2)$B_n=1+(n-1)\cdot 2^n$

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $n=1$：$2a_1-a_1=S_1{S}_1=a_1^2$，即 $a_1=a_1^2$。由 $a_1\ne 0$ 得 $a_1=1$。 令 $n=2$：$2a_2-1=S_2=1+a_2$，解得 $a_2=2$。 当 $n⩾2$ 时， $2a_n-1=S_n,2a_{n-1}-1=S_{n-1}.$ 两式相减：$2a_n-2a_{n-1}=a_n$，即 $a_n=2a_{n-1}$。 又 $a_2=2=2a_1$，故 $\{a_n\}$ 是首项 $1$、公比 $2$ 的等比数列： $a_n=2^{n-1}.$ （2）由（1），$n{a}_n=n\cdot 2^{n-1}$。记其前 $n$ 项和为 $B_n$： $B_n=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n\cdot 2^{n-1},$ $2B_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots +(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^n.$ 两式相减： $-B_n=1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}-n\cdot 2^n=2^n-1-n\cdot 2^n.$ 故 $B_n=(n-1)\cdot 2^n+1=1+(n-1)\cdot 2^n.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：Sn 与 an 的关系、等比数列与错位相减

核心方法：(1) $n=1$：$a_1=a_1^2$ → $a_1=1$；$n=2$：$2a_2-1=1+a_2$ → $a_2=2$；$n⩾2$ 相减 $a_n=2a_{n-1}$ → $a_n=2^{n-1}$；(2) 错位相减 $B_n=1+(n-1)\cdot 2^n$

避坑指南：$2a_n-a_1=S_1{S}_n$ 中 $S_1=a_1$——令 $n=1$ 先定 $a_1$；相减时把 $n-1$ 的式子整体写对（$2a_{n-1}-1=S_{n-1}$），得出 $a_n=2a_{n-1}$ 只对 $n⩾2$ 成立，验证 $a_2$ 后才敢说等比；错位相减最后合并符号，$B_n=(n-1)2^n+1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列的递推与求和（$S_n$ 化 $a_n$ + 错位相减，湖南卷解答题）。

结论推广：令 n=1 定首项；作差得递推；错位相减。

方法推广：定 $a_1,a_2$ → 相减得等比 → 错位相减求 $B_n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2013-山东卷文-20 解-等差数列错位相减
• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和