2020-全国卷II文-05 单-向量垂直

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）已知单位向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$, 则下列向量中, 与 $\mathbf{b}$ 垂直的是 ( )

A. $\mathbf{a}+2\mathbf{b}$　　　　B. $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$　　　　C. $\mathbf{a}-2\mathbf{b}$　　　　D. $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据单位向量及夹角求出向量的数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。
2. 分别计算各选项与向量 $\mathbf{b}$ 的数量积，若数量积为 0，则两向量垂直。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为单位向量，且夹角为 $60^{\circ }$， 所以 $|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=1,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\times 1\times \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。 逐一检验各选项与 $\mathbf{b}$ 的数量积： A. $(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+2{\mathbf{b}}^2=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\ne 0$；

B. $(2\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2=2\left(\frac{1}{2}\right)+1=2\ne 0$；

C. $(\mathbf{a}-2\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-2{\mathbf{b}}^2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\ne 0$；

D. $(2\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-{\mathbf{b}}^2=2\left(\frac{1}{2}\right)-1=1-1=0$。 因此，与 $\mathbf{b}$ 垂直的是 $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积、向量垂直判定。
2. 核心方法：利用 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 作为两向量垂直的充要条件逐项验证。
3. 避坑指南：计算时注意 ${\mathbf{b}}^2=|\mathbf{b}{|}^2=1$，切勿漏算平方项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数学平面向量基础题。
2. 结论推广: 两个向量垂直等价于它们的数量积等于零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2023-新高考I卷-03 单-数量积
• 2000-新课标理-04 单-平面向量的数量积性质