2020-全国卷II文-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前n项和。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_1=-2,a_2+a_6=2$, 则 $S_{10}=$ _____.

🔍【思路分析】

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1. 设等差数列的公差为 $d$，将已知条件 $a_2+a_6=2$ 转化为关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的方程。
2. 解出 $d$ 后，利用等差数列前 $n$ 项和公式求出 $S_{10}$。

✅【答案】

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$25$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$. 由 $a_2+a_6=2$，根据等差数列通项公式可得： $(a_1+d)+(a_1+5d)=2⟹2a_1+6d=2$. 已知 $a_1=-2$，代入上式得： $2(-2)+6d=2⟹-4+6d=2⟹6d=6⟹d=1$. 利用等差数列前 $n$ 项和公式求 $S_{10}$： $S_{10}=10a_1+\frac{10\times (10-1)}{2}d=10(-2)+45(1)=-20+45=25$. 故答案为：$25$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项与求和。
2. 核心方法：基本量法（设 $a_1,d$ 建立方程组求解）。
3. 避坑指南：求和公式中项数 $n$ 与系数代入时需准确无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列模块基础常考题。
2. 结论推广: 等差数列中下标性质 $a_2+a_6=2a_4$ 常用于快速化简和寻找对称性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和