2020-全国卷II理-04 单-计数原理

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前 n 项和公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）4. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块。已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A. 3699 块　　　B. 3474 块　　　C. 3402 块　　　D. 3339 块

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立数列模型：

• 设第 $k$ 环的石板数为 $a_k$。

• 规律：第一环 $a_1=9$，向外每环增加 9 块。这说明 $\{a_k\}$ 是一个首项 $a_1=9$，公差 $d=9$ 的等差数列，通项为 $a_k=9k$。

2. 划分三层区间：

• 设每层有 $n$ 环。
• 上层（第 1 层）：第 1 环到第 $n$ 环，石板总数为 $S_n$。
• 中层（第 2 层）：第 $n+1$ 环到第 $2n$ 环，石板总数为 $S_{2n}-S_n$。
• 下层（第 3 层）：第 $2n+1$ 环到第 $3n$ 环，石板总数为 $S_{3n}-S_{2n}$。

3. 利用数量关系求解：

• 条件：下层 - 中层 = 729。
• 观察等差数列性质：各层环数相同，则各层总块数也构成等差数列。
• 下层与中层的差值 = $(S_{3n}-S_{2n})-(S_{2n}-S_n)=729$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 利用等差数列性质： 设 $\{a_k\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_k$。已知 $a_k=9k$。 则各层石板数分别为： $W_1=S_n$ $W_2=S_{2n}-S_n$ $W_3=S_{3n}-S_{2n}$ 在等差数列中，$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 构成公差为 $n^{2}d$ 的等差数列。

2. 列方程求 $n$： $W_3-W_2=n^{2}d=729$ 已知 $d=9$，则 $9n^2=729$ 解得 $n^2=81$，即 $n=9$。 这意味着每层有 9 环，三层总共 $3n=27$ 环。

3. 计算总块数： 总块数为 $\{a_k\}$ 的前 27 项和 $S_{27}$： $S_{27}=\frac{27\times (a_1+a_{27})}{2}$ $a_{27}=9\times 27=243$ $S_{27}=\frac{27\times (9+243)}{2}=\frac{27\times 252}{2}=27\times 126=3402$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 等差数列片段和性质： 若 $\{a_n\}$ 是等差数列，则 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}\dots$ 也是等差数列，且公差为 $n^{2}d$。掌握这个结论可以极大地缩短本题的计算时间。
• 背景信息转化： 圜丘坛上层 9 环、中层 9 环、下层 9 环是常识，但在数学题中必须通过“下层比中层多 729 块”推导出来。
• 单位计算： 计算 $27\times 126$ 时，可以观察尾数 $7\times 6=42$，尾数为 2 的只有 C 选项，这在考场上是有效的提速技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是包含天心石在内共有多少块，结果应为 $3402+1=3403$。在处理此类建筑文化背景题时，务必看清“不含天心石”或“包含中心部分”等限定条件。类似的模型也经常出现在考查等比数列（如某种细胞分裂）的题目中。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和